二分图的一些基本概念

1.定义：若无向图G=<V，E>的结点集V能够被划分为两个子集V1，V2，满足V1∩V2=Ø，并且V1UV2=V，使得G中任意一条边的两个端点，一个属于V1，另一个属于V2，则称G为二分图（bigraph）。二分图通常记为G=<V1,E,V2>.

由定义可知，二分图没有自回路；零图，平凡图可以看成是特殊的二分图。

2.定义：在二分图G=<V1,E,V2>中，若V1中的每个结点与V2中的每个结点都有且仅有一条边相关联，则称二分图G为完全二分图，记为Ki,j，其中i=|V1|,j=|V2|.

3.判断是否为二分图的方法：①定义法，②定理：无向图G=<V,E>为二分图的充要条件是G的所有回路的长度均为偶数。

4.在二分图G=<V1,E,V2>中，V1={v1,v2,v3........vq},若存在E的子集E'={(v1,v1'),(v2,v2')........(vq,vq'),其中v1',v2',v3'.......vq'为V2中的q个不同的结点},则称G的子图G'={V1,E',V2}为从V1到V2的一个完全匹配（complete matching）。

5.二分图存在完全匹配的判断：

①充要条件-------霍尔定理（Hall定理）：二分图G=<V1,E,V2>中存在从V1到V2的匹配的充要条件是V1中任意k个结点至少与V2中的k个结点相邻，k=1,2,3,........|V1|. 通常称为相异性条件（diversity condition）

②充分不必要条件---------定理（t条件）：二分图G=<V1,E,V2>如果满足：

（1）V1中每个结点至少关联t条边；

（2）V2中每个结点之多关联t条边。

其中t为正整数，则G存在从V1到V2的匹配。

判断t条件非常简单，只需计算V1中结点的最小度，V2中结点的最大度即可。

③必要条件---------|V1|<=|V2|