计算机中的原码、反码和补码

看到这个标题，很多人有话要说了，切！这个东西每一本计算机基础知识的书中都有介绍的，你还拿出来Show什么嘛！我的原则是你需要就来看一看，懂就不要去理会，倒也不必讽刺两句，我相信总有需要它的人。当初我看书是没看明白的，在网上查了好多资料才有所悟。

　　前几天跟老婆讲原码、反码和补码的知识，老婆似懂非懂，在这里我发表一下我个人的意见，浅显的把我所理解的原码、反码和补码的知识总结一下，一来可以给不懂的人来点启示，二来也可以方便老婆以后记忆复习。理解有不对的地方希望大家予以指出，谢谢！

　　大家都知道数据在计算机中都是按字节来储存了，1个字节等于8位（1Byte=8bit），而计算机只能识别0和1这两个数，所以根据排列，1个字节能代表256种不同的信息，即2⁸（0和1两种可能，8位排列），比如定义一个字节大小的无符号整数（unsigned char），那么它能表示的是0～255（0~2⁸-1）这些数，一共是256个数，因为，前面说了，一个字节只能表示256种不同的信息。别停下，还是一个字节的无符号整数，我们来进一步剖析它，0是这些数中最小的一个，我们先假设它在计算机内部就用8位二进制表示为00000000（从理论上来说也可以表示成其他不同的二进制码，只要这256个数每个数对应的二进制码都不相同就可以了），再假设1表示为00000001，2表示为00000010，3表示为00000011，依次类推，那么最大的那个数255在8位二进制中就表示为最大的数11111111，然后，我们把这些二进制码换算成十进制看看，会发现刚好和我们假设的数是相同的，而事实上，在计算机中，无符号的整数就是按这个原理来储存的，所以告诉你一个无符号的整数的二进制码，你就可以知道这个数是多少，而且知道在计算机中，这个数本身就是以这个二进制码来储存的。比如我给你一个2个字节大小的二进制码，首先声明它表示的是无符号的整数：00000000 00000010，我们把前面的0省略，换算一下，它表示的也是数值2，和前面不同的是，它占了2个字节的内存。不同的类型占的内存空间不同，如在我的电脑中char是1个字节，int是4个字节，long是8个字节（你的可能不同，这取决于不同的计算机设置），它们的不同之处仅仅是内存大的能表示的不同的信息多些，也就是能表示的数范围更大些（unsigned int能表示的范围是0~2^8*4-1），至于怎么算，其实都是一样的，直接把二进制与十进制相互转换，二进制就是它在计算机中的样子，十进制就是我们所表示的数。啊哈，原来这些都是可以计算的呀，我曾经还以为不同的计算机储存的原理是不同的，取决于商家的喜好呢，呵呵。说了这么多怎么还没有提到原码、反码和补码呀，别急别急，心急吃不了热豆腐，呵呵，因为无符号的整数根本就没有原码、反码和补码。（啊，那不是被欺骗了，5555````我告诉妈妈去，哥哥欺负我）都说了别急嘛，你就不想想我说了这么半天的无符号整数，那么有符号的整数怎么办啊？

　　呵呵，对，只有有符号的整数才有原码、反码和补码的！其他的类型一概没有。虽然我们也可以用二进制中最小的数去对应最小的负数，最大的也相对应，但是那样不科学，下面来说说科学的方法。还是说一个字节的整数，不过这次是有符号的啦，1个字节它不管怎么样还是只能表示256个数，因为有符号所以我们就把它表示成范围：-128-127。它在计算机中是怎么储存的呢？可以这样理解，用最高位表示符号位，如果是0表示正数，如果是1表示负数，剩下的7位用来储存数的绝对值的话，能表示2⁷个数的绝对值，再考虑正负两种情况，2⁷*2还是256个数。首先定义0在计算机中储存为00000000，对于正数我们依然可以像无符号数那样换算，从00000001到01111111依次表示1到127。那么这些数对应的二进制码就是这些数的原码。到这里很多人就会想，那负数是不是从10000001到11111111依次表示-1到-127，那你发现没有，如果这样的话那么一共就只有255个数了，因为10000000的情况没有考虑在内。实际上，10000000在计算机中表示最小的负整数，就是这里的-128，而且实际上并不是从10000001到11111111依次表示-1到-127，而是刚好相反的，从10000001到11111111依次表示-127到-1。负整数在计算机中是以补码形式储存的，补码是怎么样表示的呢，这里还要引入另一个概念——反码，所谓反码就是把负数的原码除符号位（负数的原码除符号位和它的绝对值所对应的原码相同，简单的说就是绝对值相同的数原码相同）各个位按位取反，是1就换成0，是0就换成1，如-1的原码是0000001（注意这里只有7位，不看符号位，我这里所说的负数符号位都是1），和1的原码相同，那么-1的反码就是1111110（这也是7位，后面加上了符号位都是8位了），而补码就是在反码的基础上加1，即-1的补码是11111110+1=11111111，因此我们可以算出-1在计算机中是按11111111储存的。总结一下，计算机储存有符号的整数时，是用该整数的补码进行储存的，0的原码、补码都是0，正数的原码、补码可以特殊理解为相同，负数的补码是它的反码加1。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
文章作者并没有解释为什么负数采用补码，补码为什么是通过对应正数求反码然后加1得到，这其中有什么数学理论依据。
以下通过直观的例子说明，这里为方便采用单字节说明：

0                                      127                                      255
|_____________________|______________________|

-128                                  0                                          127
|_____________________|______________________|

从图中可以看到，我们可以让

-128跟0用同一个二进制

-127跟1用同一个二进制

-126跟2用同一个二进制

……

只不过，二进制的最高位要设置为1，以表示这是个负数，即

-128                  0

1000 0000       0000 0000

-127                  1

1000 0001       0000 0001

-126                  2

1000 0010      0000 0010

……

接下来注意到

1000 0000 可以按以下步骤得到：

1000 0000－取反－>0111 1111

0111 1111－加1－>10000000

即 128取反然后加1

1000 0001可以按以下步骤得到：

0111 1111－取反－>1000 0000

1000 0000－加1－>10000001

即127取反然后加1

1000 0010可以按以下步骤得到：

0111 1110－取反－>1000 0001

1000 0001－加1－>1000 0010

即126取反然后加1

…….

因此，负数就可以用它的正数取反然后加1来表示，这最终的结果称为正数的补码。

==============================================

权威的关于原码、反码、补码的来源和说明，查看https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_number_representations#Ones.27_complement

简单讲，历史上，原码、反码都曾被用过(好像那时电路制作工艺还不高，做不出补码电路)，但是它们都解决不了衍生出的+0和-0的问题，直到后来补码电路设计出后，补码表示法开始大量被应用，且它解决了+0和-0的问题。