关于pku一道期中考试题，老赵发起的问题（更新）

证明3-正则图的点连通度等于其边连通度。

这道题的证明应该是：

设G是3-正则图，分3种情况讨论：

1.G是非连通图（即每个连通分支为3-正则图），此时边连通度为0，点连通度也为0，即命题成立。

2.G是含桥的简单连通图，则此时边连通度为1，点连通度也为1，即命题成立。

3.G是不含桥的简单连通图，

  a.不含长度大于3的圈时，边连通度为3，点连通度为3；

  b.含长度大于等于4的圈时，边连通度为2，点连通度为2；

       a.证明如下：

       这里前两种情况显然，易知，G为不含桥的3-正则连通图时边连通度为3，下面只证明第3种情况的点连通度为3：

 

         点连通度显然不大于3，假设G的点连通度大于3，则G中任意去掉3个顶点后，G仍然是连通的。v是G的任一顶点，与v相邻的顶点只有3个，去点这3个后G不连通，与假设矛盾！

 

         点连通度显然不小于3，假设G的点连通度小于3，则G中任意去掉点与v相邻的2个顶点后，G的连通性必然遭到破坏，但是与v相邻的顶点有3个，G的连通性没有遭到破坏，矛盾。

       b.证明如图：

 去掉点{4,5}即破坏原图连通性，所以点连通度=2；

                          去掉边{<2,5><4,8>}即得到破坏原图连通性，则边连通度=2.

此处关于b情况，感谢iamjw指正。

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PS.2007年真题第三.4：

是否存在4-连通的3-正则图？为什么？

答案：不存在。证明仿照上面的证明。

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或者上面G为不含桥的a情况的3-正则连通图时点连通度为3的证明可以用构图法来证明：

或者上面G为不含桥的a情况中3-正则连通图时点连通度为3可以利用定理这么证明：（比较麻烦）

 

 

证明：令G为n阶不含桥的3-正则连通图，则n>3.

 

 

         当n=4时，G为K4，其点连通度为3显然。

         下面证明n>4时，命题成立。

         当n>4时，n阶3-正则连通图的边连通度必为3，根据定理

        

         知：k<=入=3

         又根据

           知：

          k>=入=3（因为k>=2*3-n+2=8-n,且n>4,则k>=3）

             故：k=入=3

         即3-正则连通图的点连通度等于其边连通度。

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相关定理的补充：

 

由定理7.12也可以得到边连通度为3。

感谢老赵及时纠正。

 

 

构图法，用归纳去证，发现在证明当n+1阶3-正则图的点连通度为3，在n阶3-正则图点连通度为3的基础上去证明时，我需要在n阶3-正则图基础上增加一个顶点，但是这样的话，是不行的，因为n阶已经是3-正则图了，再加一点v，必然存在度数大于3的顶点，所以需要加工假设中是命题成立的n阶3-正则图，把n个顶点都去掉一边后，然后这n个顶点都与这个v点相连，这样也可以证明，因为度数没有增加没有减少，故用构图法可以实现这个证明。

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当G为不含桥的3-正则连通图时（受2007年真题的启发）