图的基础知识

      图的概念

      图（Graph）是一种较线性表和树更为复杂的数据结构。在线性表中，数据元素之间仅有线性关系，即每个数据元素只有一个直接前驱和一个直接后继；在树形结构中，数据元素之间有着明显的层次关系，虽然每一层上的数据元素可能和下一层中多个元素（孩子） 相关，但只能和上一层中一个元素（双亲）相关；而在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，任意两个数据元素之间都可能相关。

      图在各个领域都有着广泛的应用，如电路网络分析、交通运输、管理与线路的铺设、印刷电路板与集成电路的布线等众多直接与图有关的问题，它们必须用图的有关方法进行处理；另外像工作的分配、工程进度的安排、课程表的制订、关系数据库的设计等许多实际问题，如果间接地用图来表示，处理起来比较方便。这些技术领域都是把图作为解决问题的主要数学手段来使用，因此，如何在计算机中表示和处理图结构，就是计算机科学需研究的一项重要课题。

      图的种类

      若图G中的每条边都是有方向的，则称G为有向图（Digraph）。设其顶点数为n，边数为e，则有0 ≤ e ≤ n(n-1)。在有向图中，一条有向边是由两个顶点组成的有序对，有序对通常用尖括号表示。有向边也称为弧（Arc），边的始点称为弧尾（Tail），终点称为弧头（Head）。例如。若<vi，vj>表示一条有向边，则vi是边的始点（起点），vj是边的终点。因此，<vi，vj>和<vj，vi>是两条不同的有向边。

      若图G中的每条边都是没有方向的，则称G为无向图（Undigraph）。设其顶点数为n，边数为e，则有0 ≤ e ≤ n(n-1)/2。无向图中的边均是顶点的无序对，无序对通常用圆括号表示。例如，无序对（vi，vj）和（vj，vi）表示同一条边。

      图的表示

      图的存储表示方法很多，这里介绍两种最常用的方法，即邻接矩阵法（Adjacency Matrix）与邻接表法（Adjacency List）。

      邻接矩阵法

      设 G = (V, E) 是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵。

      若邻接矩阵表示一个图，则

      例如

      若邻接矩阵表示一个网络，则

      例如

 

      邻接表法

      对于无向图，vi的邻接表中每个表结点都对应于与vi相关联的一条边。因此，将邻接表的表头向量称为顶点表。将无向图的邻接表称为边表。n个顶点e条边的无向图的邻接表表示中有n个顶点表结点和2e个边表结点。

      对于有向图，vi的邻接表中每个表结点都对应于以vi为始点射出的一条边。因此，将有向图的邻接表称为出边表。n个顶点e条边的有向图，它的邻接表表示中有n个顶点表结点和e个边表结点。