《编程之美》阅读心得之快速找出机器故障

在《编程之美》的1.5节，题目大意是这样的：有很多服务器，假设一个服务器仅存储一个标号为ID的记录，并且机器总量在10亿以下，所有ID均为小于10亿的整数，假设每份数据保存两个备份，这样就有两个机器存储了同样的数据。问题是：

1.假设在某个时间得到一个数据文件ID的列表，是否能快速地找出表中仅出现一次的ID？即快速找出出现故障的机器存储的数据ID。（这里先假设只有一台机器发生故障）

2.如果有两台机器出现故障呢？（假设存储同一份数据的两台机器不会同时出现故障，即列表中缺少的是两个不等的ID）

现在先来讨论问题1。这个问题实质就是快速找出大集合中丢失的数字。

【解法一】对于列表中的每一个ID，遍历列表查找是否存在相同的ID。找到那个没有与其相同的ID的ID即为所求。这种方法时间复杂度为O(N^2)，空间复杂度为O(N)。也可以事先对ID列表排序，然后顺次遍历列表，查找同一ID是否在相邻的位置出现两次。这样可以使时间复杂度降为O(N*logN)。但是这些方法对于ID数目庞大的情况不适用，因为ID数目大的话，只能采用外排序，而且需要多次遍历列表。

【解法二】遍历列表，记录每一个id出现的次数，出现次数为1的ID即为所求的ID。这种方法比较简单，出现次数小于2的ID即为所求。时间复杂度为O(N)，这个方法需要一个记录ID出现次数的数组，所以，空间复杂度为O(N)。时间复杂度已经很优，空间复杂度在N很大时不理想。

【解法三】利用hash表。遍历列表，对于每一个ID，先检查hash表中是否有与之相同的ID，若有，则从Hash表中删除该ID；否则，将该ID加入到hash表中。这样，遍历完列表后，hash表中剩下的那一个元素即为所求ID。这种方法时间复杂度为O(N)，空间复杂度在最好的情况下为O(1)，在最坏的情况下为O(N)。

【解法四】利用异或运算。事实上，将这个列表中的所有ID异或后的值即为所求ID。这种方法时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)。在时间和空间上，基本已经达到最优。

【解法五】利用“不变量”。所有ID的和为一个不变量，对剩下ID求和。所有ID的和与剩下ID的和之差即为所求ID。由于所有ID之和可以事先算好，所以，该方法也可以在O(N)时间，O(1)空间内解决。

    总体来说，解法四和解法五均已经很优化。他们均能在只遍历一次列表，只需一个变量的条件下解决。

    对于问题2，我们可以在上面的解法上改进。解法三是一中比较通用的解法。对于解法四和解法五则需要构造方程来解决。

【扩展问题】如果同时有A个备份，同时有B台机器发生故障，怎么解决？个人觉得，在B小于4的情况下，还可以考虑采用解法五构造方程解决。但是，B超过4的情况下，方程势必很复杂，建议采用解法三，当然，解法三需要改进。需要对存入Hash表的ID计数，当计数值达到A时再将这个ID从hash表中删除。

【相关问题】直接采用解法五。事先算好所有牌的和(1+...+13) x 4 = 364，然后分别减去留下的牌点数，就得到抽出的是哪一张。

by lgjfly，2010.11.20