多堆NIM问题

n堆小石子，两个人拿，每一堆的数目不固定，一次只可以从一堆里面拿，可以拿任意个，但是至少要拿一个，最多全拿走；拿走最后一个石头的赢。

例如：三堆石子，分别为1,2,3；

A从第三堆中拿2个，变成1,2,1；然后B把第二堆全拿走，变成1,1；那么A就只能拿一个了，最后一个B拿，B赢。

如何能必胜呢？

必胜的一个最基本的情况就是上述最后，剩下两堆给对手，每堆1个，这样他怎么拿都必输了。接着向上拓展，如果是两堆，每堆两个，那么对面的也是怎么拿都必输。更一般的情况，只要给对手留下两堆数量相同的，那么就必胜了，因为每次都能保持两堆相同的留给对手，每次石子都会减少，那么最后一定是两堆各一个留给对手。那么更多堆的情况呢？实际上我们可以灵机一动，发现必胜的特点，就是各堆的数目异或结果是0；只要我们能够保持这种特点，异或为0，每次石子都会减少，那么最后也一定是两堆一样的留给对手。

为什么一定可以保持呢？

只要我们刚开始留给对手的是异或为0的结果，那么不管他怎么拿，我们都可以保持这种性质。

各堆数目异或为0，就表示各堆数目的二进制表示中，每一位上1的数目一定为偶数。例如1,2,3，分别为1,10,11，低位开始数，第一位上1的数目为2，第二位的数目也为2，这样他们异或的结果就是0了，事实上从异或的特点就能看出这一点了。所有的0异或结果必然是0，只要所有的1异或结果为0，那么这个位上的异或结果就是0了。所以，如果初始条件下，异或结果为0，那么对手拿了某一堆里面的某几个，必然破坏了这种性质，因为他改变的只是一个数，那么这个数上的某几位的1可能变成了0，某几位的0可能变成了1，必然改变了这种奇偶性。所以异或结果必然就不是0了，那么为什么我们一定可以保持呢？对手改变了某一个数字二进制表示的1,0的分布情况，因为他只能做减法，所以他改变的最高位必然是从1变到0，而之前的结果异或结果是0，其他的堆的数目的二进制表示必然至少有1个在该位上也是1，就取其中的一个，然后把他改变的其他的位的变化也用二进制表现出来。

例如：1,4,5；异或结果为0；

二进制表示分别为1,100,101；

假如他从第三堆拿了2个，那么就变成1,4,3，二进制表示为：1,100,011

第三位的1被拿掉，第二位的0变成了1

那么我就取掉第二堆中的第三位的1，并且，第二位的0也改成1，其他的不动，我们要剩下的就是010，为2，4-2=2，所以我们就从第二堆中取掉2个。剩下2个，给对手留下的就是1,2,3；异或结果为0；

依次类推，每次石子都会减少，最后剩下的依然异或为0；

必胜。