图像傅里叶变换1

图像傅里叶变换1
香菜    发表于2009年06月29日 22:05 阅读(31) 评论(6)
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      世界上的事物也真奇妙，就像我们把这些东西都可以最终归结为原子，电子一类的组合，当一个整体我们很难认识的时候，我们就从组成它的各个部分入手，然后各个击破，从抽象到具体，从具体再回归抽象，这样反反复复。
     不知谁说过天下合久必分，分久必合，一些事物即能分解，那么这些被分解的事物又可以重新合成，举一个简单的例子来说，光通过三棱镜后会分散成不同颜色的单色光，使得我们知道原来白光是一种组合，而这些分散的光又可以重新合成白光，那么这些单色光又有什么关系，我想用线性代数上的一些东西说明一下，只是我的理解而已。
   线性相关和线性无关是否能告诉我们什么，在这里要引出向量，我们知道向量在平面中的表示，知道平面向量可以写成一个关于x，y组合的形式，而且是任何一个向量都有这种形式。x，y又是正交的关系，可以这么说x，y(x,y在这里表示向量也就是（1.0），（0，1））是线性无关的，线性代数里有好几个结论，在这里省略。我们要明确的是基的概念。
   基（也就是上面的x，y），信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基，是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基.
    而傅里叶变化为什么写成一个复数的形式，在高等数学上看到的都是一系列正弦，余弦的组合，这归功于欧拉的一个公式，这个公式正好把正弦和余弦联系起来了。
    傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类,而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。而这写正弦和余弦在一个周期内是正交的，看来不仅仅是x，y具有这样的关系，而一些函数也具有。再想想函数的定义，以前的函数是把一个定义域映射成值域，而现在定义域似乎是一系列函数，同理，值域也是一系列函数。
因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
    从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
   傅里叶变换就是这样一种时-频转换的工具，它把待分析波形分解成不同频率正弦波的叠加，从而就可以把对原函数f(t)的研究转化为对其权系数F(ω)的研究。
人们构造出不同的基本函数系，无非是两个目的，第一个很简单，就使用不同的数字化方式表示信号，适应不同的需要；第二个则非常深刻，就是想从系数上直接找出信号f(x)的局部特征信息.但是在实际的应用中，如音乐和语音信号处理，人们往往关心某些特定的频率分量发生在什么时间；而对图像信号我们感兴趣的是其边缘（局部、高频）信息。但是傅里叶变换的表达式是在整个时域（空间域）上进行的，所以无法给出时间（空间）上的局部信息.为了解决时频局部化的问题，可以给傅里叶变换加一个滑动的“时间窗”g(t)，这就是短时傅里叶变换。但是由于该“窗口”函数是固定的，所以短时傅里叶变换的时间和频率的分辨率也是固定的，因此，短时傅里叶变换只能得到待分析信号在固定分辨率下的局部特性，对于分析同时具有较高和较低频率的信号是不合适的。
长期以来大家（主要是数学家吧，我想）都在研究把任意的一个函数表示成   一组函数族的线性组合，这样的话，就可以把对原函数的分析转化为对函数族的研究了，而此函数族有着很好的分析性质。为什么可以表示成一组函数组的线性组合呢？其实就是最佳逼近问题，也就是说针对一个具体的函数我用一组函数族（比如三角函数族）的线性组合可以任意的逼近它（当然还有收敛的问题,而三角函数族就是经过证明是很好的二次最佳逼近了，而其系数就是傅立叶变换.另一方面人们发现傅立叶变换只有频域的信息，时域信息很难同时得到（很晦涩）对于那些想要在频域和时域同时看到信号的性质的人们有很大的不足，一开始就产生了加窗傅立叶变换也就是短时傅立叶变换，可是短时傅立叶变换有个弱点,就是它无法在时域和频域同时有很好的分辨率，好像有个什么不等式，只好兼顾一面，要么时域分辨率较高，要么频域分辨率较高。继续发展就出来了小波了，它可以在时域和频域同时具有较好的分辨率。
  图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度.如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高.在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变部分，而低频分量决定信号的整体形象。在图像处理中，频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度，也就是图像灰度的变化速度，也就是图像的梯度大小。对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量。也就是说，傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。书面一点说就是，傅里叶变换提供了一条从空域到频率自由转换的途径.
附加：

一个函数（一般指随时间变化的函数，因此称它的定义域为时域，后来这个定义扩展到任意类型的实域），它可以表述为一系列正弦波的叠加,也就是对于函数f(t)，可以表示为
f(t)= sum(An(w)sin(nwt) + Bn(w)cos(nwt))
一个周期可积函数总可以找到对应的唯一的An(w)和Bn(w)来表达它。
     我们称呼f(t)为函数在时域内的响应，An(w)和Bn(w)为它在频率内的响应。 这个响应的函数是：对于一个系统的输入，如果我们输入不同频率的波，这个系统随频率的不同的变化情况
    上面是数学上的意义，对于实际应用中，频率反应了原始信息的波动情况。原始信息波动越厉害，它的高频组成就越多。例如：一个图像的图形边界处变化剧烈，因此对应高频部分
一般情况下，噪声是高频信号，如果我们让普通的带噪声信号通过一个只让低频通过的系统，噪声的能量就大大降低，达到降噪的目的                         
时域（时间域）——自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。其动态信号x（t）是描述信号在不同时刻取值的函数。 
频域（频率域）——自变量是频率,即横轴是频率,纵轴是该频率信号的幅度,也就是通常说的频谱图。频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系。
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    频域（频率域）——自变量是频率,即横轴是频率,纵轴是该频率信号的幅度,也就是通常说的频谱图。频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系。
对信号进行时域分析时，有时一些信号的时域参数相同，但并不能说明信号就完全相同。因为信号不仅随时间变化，还与频率、相位等信息有关，这就需要进一步分析信号的频率结构，并在频率域中对信号进行描述。
   时域是大家平时接触比较多的，比如正弦交流电电压曲线，描述的是电压值和时间之间的关系，表现出不同时刻电压的大小。有些器件与频率有关，比如放大电路，对于频率不同的信号放大能力不同，那么这个时候就需要一个描述放大倍数和频率之间关系的曲线，这种讨论就是频域上的讨论，也就是频域响应。
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横坐标：频率
纵坐标：功率