堆排序

 

堆排序是一树形选择排序,它的特点是,在排序过程中,将R[1..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构,利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系,在当前无序区中选择关键字最大(或最小)的记录。

 

    堆的定义是：n个关键字序列K1,K2,…,Kn称为堆,当且仅当该序列满足如下性质(简称为堆性质)：

           (1)Ki≤K2i 且 Ki≤K2i+1  

      或  (2)Ki≥K2i 且 Ki≥K2i+1(1≤i≤ën/2û)

满足第(1)种情况的堆称为小根堆,满足第(2)种情况的堆称为大根堆。下面讨论的堆是大根堆(升序排列)。

 

      堆排序的关键是构造堆,这里采用筛选算法建堆。

　  所谓“筛选”指的是，对一棵左/右子树均为堆的完全二叉树，“调整”根结点使整个二叉树也成为一个堆。

 

堆排序的时间复杂度分析：

 

(1) 对深度为 k 的堆，“筛选”所需进行的关键字比较的次数至多为2(k-1)；

(2) 对 n 个关键字，建成深度为h(=ëlog2nû+1)的堆，所需进行的关键字比较的次数大约为2.54n；

(3) 调整“堆顶” n-1 次，总共进行的关键字比较的次数不超过:

     2 (ëlog(n-1)û+ ëlog(n-2)û+ …+log2) < 2n(ëlognû)

因此，堆排序的时间复杂度为O(nlogn)。

#include <iostream>#include <ctime>using namespace std;//调整堆的算法(因为最后是升序排列，所以要维护最大堆特性)，复杂度是O(logn)//low:低位下标，high:高位下标void sift(int a[],int low,int high){int i = low;int j = 2*i; //a[j]是a[i]的左孩子int tmp = a[i];while(j<=high){//右孩子大，j指向右孩子if(j<high && a[j]<a[j+1])j++;if(tmp<a[j]){a[i] = a[j]; //将a[j]调整到双亲结点的位置上i = j; //修改i和j值，以便继续向下筛选j = 2*i;}elsebreak; //筛选结束}a[i] = tmp; //被筛选结点的值放入最终位置}//堆排序算法:有了调整堆的函数,利用该函数,将已有堆中的根与最后一个叶子交换,//进一步恢复堆,直到一棵树只剩一个根为止。void Heapsort(int a[],int n){int i,tmp; //循环建立初始堆:这里的复杂度为O(n)for(i=n/2-1;i>=0;i--)sift(a,i,n-1);//进行n-1次循环，完成堆排序for(i=n-1;i>=1;i--) {//将第一个元素a[0]同当前区间内a[i]交换tmp = a[0];a[0] = a[i];a[i] = tmp;//筛选a[0]结点(下标从0到i-1)，得到一个含i个结点的堆sift(a,0,i-1);}}int main(){int N;cout<<"Input N:";cin>>N;int *a = new int[N];srand((unsigned)time(NULL));for(int i=0;i<N;i++){a[i] = rand()%100;cout<<a[i]<<" ";}cout<<endl;Heapsort(a,N);for(int i=0;i<N;i++)cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;delete []a;return 0;}