堆排序

    堆排序是一种很巧妙的排序方法，其原理是把数组当做一颗完全二叉树，位置为0的元素为树的根，位置为n的元素，其左子节点的位置为2n+1，右子节点的位置为2n+2。

    堆按照数据的排列顺序分为最大堆和最小堆，堆的性质为：最大堆的每个节点的值都不小于左右子节点的值，因此位置为0的元素为数值最大的元素，最小堆相反。

    堆排序的核心操作在于维护堆的上述性质，该操作称为heapify，既对任何节点n，检查其是否满足上述性质，若不满足，在该节点与两个子节点中找到最大元素m，与节点n交换，交换后，对于m节点继续进行heapify操作，直到遍历到叶节点。对于一个任意的数组，视其为完全二叉树，从下至上对所有内部节点进行heapify操作，堆便建立起来了。

    若要对某数组使用堆排序，首先要建立堆，按照升序排列便建立最大堆，按照降序排列便建立最小堆，建好堆后，将0位置的元素与数组最后一个元素进行交换，此时数组最后一个元素为最大元素，然后对位置为0的元素进行heapify操作，可保证前面所有元素组成的数组仍为最大/最小堆，循环以上操作，数组就可以排序好。

    堆还可以用作优先级队列。关于堆，《算法导论》中有详细的论述。

 

    以下为示例代码，建立一个动态数组，随机填充数据，然后进行堆排序，最后进行验证。

    代码仅供参考，某些分支未进行内存释放，请无视。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <memory.h>#include <Windows.h>/* 统计计数*/int s = 0;/* 获取父节点、左右子节点*/int father( int i ){ return (i-1)/2;}int child_left( int i ){ return i*2+1;}int child_right( int i ){ return i*2+2;}/* 维护堆的性质*/void heapify( int * p, int len, int i ){ int max = i; int cl = child_left(i); int cr = child_right(i); if ( cl < len && p[max] < p[cl] ) { max = cl; } if ( cr < len && p[max] < p[cr] ) { max = cr; } if ( max != i ) { int t = p[max]; p[max] = p[i]; p[i] = t; heapify( p, len, max ); } s++; return;}/* 堆排序示例*/void heapsort( int len ){ int * p = (int *) new int [len]; if ( p == NULL ) { return; } s = 0; /* 生成随机数组 */ srand( GetTickCount() ); for ( int i = 0; i < len; i++ ) { p[i] = rand(); } /* 构建最大堆 */ for ( int i = len -1; i > 0; i -= 2 ) { heapify( p, len, father(i) ); } /* 验证堆 */ for ( int i = 0; i < len; i++ ) { int cl = child_left(i); int cr = child_right(i); if ( cl < len && p[cl] > p[i] ) { printf("Failed to create heap!/n"); return; } if ( cr < len && p[cr] > p[i] ) { printf("Failed to create heap!/n"); return; } } /* 从小到大排序 */ for ( int i = len; i > 0; i-- ) { int t = p[0]; p[0] = p[i-1]; p[i-1] = t; heapify( p, i-1, 0 ); } /* 验证结果 */ for ( int i = 1; i < len; i++ ) { if ( p[i] < p[i-1] ) { printf("Failed!/n"); return; } } delete [] p; printf("Succeeded! %d/n",s); return;}

    main函数代码如下

#include "test.h"intmain( int argc, char ** argv ){ for ( int i = 0; i < 1000; i++ ) { heapsort(10000); } return 0;}

    堆排序的时间复杂度为O(nlgn)，由此程序可以进行观察。空间复杂度与树的高度成正比。