Find_Depth和Link的实现

在编译器的实现等应用中需要用到上述两类指令.

 

问题是Find-Depth指令如果不具路径压缩功能，则执行O(n)条Find-Depth指令，最坏情况下时间复杂度为O(n²)；但如果采用具有路径压缩功能的Find-Depth指令，则原先树中在被压缩路径上的各结点深度会发生改变，如不采取其它措施，对其中某结点执行Find-Depth指令时，就会得到错误的深度信息。如果我们给每个结点增加一个字段记录其在原树中的深度，这样，虽可在O(1)时间完成一条Find-Depth指令，但在执行Link指令时，由于以r为根的子树中结点的深度全部发生了变化，我们势必要修改该子树中所有结点的深度字段。此工作量很大，最坏情况下，O(n)条Link指令的时间复杂度也为O(n²)；为了既能求得各点在原先树中的正确深度、又能使时间复杂度较小，我们需要使用具有路径压缩功能的Find-Depth指令；同时我们还需要采取一些辅助手段来保证深度计算的正确性。为此，我们对每个结点v增加2个字段（Count[v]和Weight[v]），并把经过改造的此类结点和树所构成的森林称为D-森林。

 

一、问题说明

问题描述

编写能实现上述功能的Link(v,r)指令程序，不要使用全局变量，设初始时两森林均由单结点树构成。上机依次执行：Link(2,1), Link(3,2), Link(5,4), Link(4,3), Link(7,6),Link(9,8),Link(8,7), Find-Depth(6), Link(6,5), Find-Depth(4), Find-Depth(7)。 打印或抄写每条指令执行后各点的Weight值，画出其时的两种森林。

二、程序功能说明以程序演示

程序功能说明

find_depth(i)主要是找到D森林根节点编号和i节点深度

link(v, r) 将以r链接到v，合并两棵树

程序演示结果

输入    ：  dtree.link(2,1);

       dtree.link(3, 2);

       dtree.link(5, 4);

       dtree.link(4, 3);

       dtree.link(7, 6);

       dtree.link(9, 8);

       dtree.link(8, 7);

dtree.find_depth(6)

dtree.find_depth(4)

dtree.find_depth(7)

输出结果：(注意下，这里的深度表示原森林的深度)

6的深度：3

weight[1]:1  weight[2]:7 weight[3]:-1  weight[4]:1  weight[5]:-3 weight[6]:3  weight[7]:2  weight[8]:1 weight[9]:-7 

4的深度：5

7的深度：2

  深度                             权值

三、算法设计

find_depth(i)返回D森林根节点编号和i节点深度，它的实现如下所示，要注意几点：

1.        如果是根节点,一个参数是D森林根节点编号，另一个为weight为0

2.        i的深度=weight[i] + i的父节点的weight + i的父节点的父节点的weight+ ... + 一直到D森林根节点

3.        第一次find需要经过路径压缩O(n)次需要O(n*G(n))

 

// 返回D森林根节点编号和i节点深度private Pair find_depth(int i) {if (i == point[i])// 如果是根节点,一个参数是D森林根节点编号，另一个为weight为0return new Pair(i, 0);// 返回根节点的编号和i节点的新权值Pair pair = find1(i);// 获得根节点编号int rootId = pair.first;// 获得i节点的新权值(=weight[i] + i的父节点的weight + i的父节点的父节点的weight+ ... +// D森林k-1节点)int iNewWeight = pair.second;// 返回根节点编号和i节点深度// 深度=weight[i] + i的父节点的weight + i的父节点的父节点的weight+ ... + 一直到D森林根节点// 第一次find需要经过路径压缩O(n)次需要O(n*G(n))return new Pair(rootId, iNewWeight + weight[rootId]);} 

 

 

link(v, r) 将以r链接到v，合并两棵树，它的实现如下所示，但同样也要注意几点：

1.  首先要获得D森林v的根节点编号和D森林r的根节点编号以及v节点深度

2.  如果count[rootOfV]>= count[rootOfR]则将r所在D森林中的根rootOfR(r')指向v所在D森林中的根rootOfV(v')

3.  新weight[rootOfR]-旧weight[rootOfR]+weight[rootOfV]=depth(v) +1

4.        如果count[rootOfV]< count[rootOfR]则v’接到r’上

5.        需要修改两处地方：新weight[rootOfR] - 旧weight[rootOfR] = depth(v) + 1 和旧weight[rootOfV] + 新weight[rootOfV] +weight[rootOfR] = depth[v]

 

// link(v, r) 将以r链接到v，合并两棵树public void link(int v, int r) {// 返回D森林v的根节点编号和v节点深度Pair pairV = find_depth(v);// 返回D森林r的根节点编号和r节点深度Pair pairR = find_depth(r);// D森林v的根节点编号int rootOfV = pairV.first;// D森林v节点深度int depthV = pairV.second; // D森林r的根节点编号int rootOfR = pairR.first;// D森林r节点深度int depthR = pairR.second; if (count[rootOfV] >= count[rootOfR]) {count[rootOfV] += count[rootOfR];// r接到v上时候深度发生变化因此需要修改D森林r的根的权// -旧weight[rootOfR] + 新weight[rootOfR] + weight[rootOfV] = depth(v) + 1weight[rootOfR] = depthV + 1 + weight[rootOfR] - weight[rootOfV];// 将r所在D森林中的根rootOfR(r')指向v所在D森林中的根rootOfV(v')point[rootOfR] = rootOfV;} else {count[rootOfR] += count[rootOfV];// r接到v上时候深度发生变化因此需要修改D森林r的根的权// 新weight[rootOfR] - 旧weight[rootOfR] = depth(v) + 1weight[rootOfR] = depthV + 1 + weight[rootOfR];// D森林中,rootOfV(书中是v')的根发生变化，变为rootOfR(书中是r')// 旧weight[rootOfV] + 新weight[rootOfV] + weight[rootOfR] = depth[v]weight[rootOfV] = weight[rootOfV] - weight[rootOfR];// 将v所在D森林中的根rootOfV(v')指向r所在D森林中的根rootOfR(r')point[rootOfV] = rootOfR;}} 

 

 

四、实验结果分析

注意一下，在实现find_depth的时候使用到了find，find实施带权路径压缩，我们这里使用递归的形式，O(n)次指令的时间复杂度为O(n*G(n))

对于实验结果，我们可以通过验证的方式来看是否正确，6、4、7的深度分别为3、5、2这是正确的，因为原树是以9为根，然后其他节点是链式连接的，如下图所示

对于权值我们可以这样验证，最后得出的D森林如下所示：（执行到Link(6, 5)时，当然如果继续往下执行的话，权值又会变化，因为路径会继续压缩）

比如说6节点，因为6节点在原森林的深度为3，而从图中可以看出6的权值+9的权值+2的权值=3+-7+7 = 3因此，是正确的，同理，可以验证其他节点的情况。

五、“编”后感

算法侧重于时间和空间，该程序主要时间花费是在find_depth 和link ，各自的时间复杂度都为O(n*G(n))，另外就是验证程序，只需要验证程序的权值累加起来是否等于原森林的深度即可。要注意一点的是压缩后的权值和没有压缩后的权值是不一样的。

 

 

 

 

 

 

全部代码下载：http://download.csdn.net/source/2936858