纸笔的力量

对Mathematica着迷了，虽然我知道这热情不会持续多久。还是喜欢在解决问题中学习，这次是Project Euler的第38问。

提问：一个数依次×1，×2，……把所得连接成一个9位数，如果这个9位数正好是1到9的一个组合，则称其为原数的pandigital数。

回答：

这段代码自己都觉得有点对不住观众，于是到论坛去取经。果然又找到了one-liner。

f = Join @@ IntegerDigits[# {1, 2}] &For[n = 1*^4, Union@f@n =!= Range@9, n--]Row@f@n 

不过最让人惊叹的还是占着沙发的老兄，这哥们自豪地写道“我已经用纸和笔解决了”。这是Project Euler界的最高荣誉了。

他这样分析道：

我们已经知道9的pandigital数是918273645了，我们要找的数应该大于等于它。

• 既然pandigital数是由×1，×2，……连接而来，那么最大的pandigital数必定以9开头（因为它要大于等于918273645）；
• 它不可能是9开头的两位数9[0-9]，这种数的pandigital数要么是8位，要么是11位；
• 它不可能是9开头的三位数9[0-9][0-9]，这种数的pandigital数要么是7位，要么是11位；
• 它不可能大于100,000，这种数的pandigital数位数肯定多于9位；

所以，我们要寻找的数只能是9开头的四位数9[0-9][0-9][0-9]。

• 它不含0，因为0乘任何数仍为0，而该数的pandigital数只含1到9；
• 它的各位均不同，否则×1时就会产生相同的数；
• 它必然不含1，因为×2的时候会产生1，谁让你9打头呢；
• 它的次高位不会是5以上，因为×2的时候会出现9，与×1的时候的9重复(9[5-9][2-9][2-9]×2 = 19xxx)；
• 它的次高位不会是4，因为×2的时候会出现两个8或者一个9(94[2-9][2-9]×2 = 18[8-9]xx)；

现在看来，可能是数只能是9[2-3][2-7][2-7]了。我们试试93[2-7][2-7]：

• 它的第3位不会是7，因为×2的时候会出现7，与×1时重合(937[2-7]×2 = 187xx)；
• 它的第3位不会是6，因为×1的时候曾出现3，所以×2时不能有进位(936[2-4]×2 = 1872x，x必为偶数，其pandigital数缺5)；
• 它的第3位不会是5，因为×2的时候会出现两个1或者一个0(935[2-7]×2 = 187[0-1]x)；
• 它的第3位不会是4，因为×2的时候会出现两个8或者一个9(934[2-7]×2 = 186[8-9]x)；
• 它的第3位不会是3，因为出现了两个3(933[2-7])；

我们试试9327吧：

9327 × 1 = 9327
9327 × 2 = 18654

就是它了！