最小二乘法原理，拟合（matlab）。

最小二乘法：

原理：

用各个离差的平方和M=Σ[yi-(axi+b)]^2 (i = 1...n)最小来保证每个离差的绝对值都很小。

为求其最小值，可用函数M对a、b求偏导，并令偏导数为0。

整理得(Σxi^2)a+(Σxi)b=Σxiyi；(Σxi)a+nb=Σyi。解出a,b。

a = (n * Σxiyi - Σxi * Σyi) / (n * Σxi^2 - (Σxi)^2);

b = (Σxi * Σxiyi - Σxi^2 * Σyi) / ((Σxi)^2 - Σxi^2 * n);

 

拟合：

对给定数据点{(Xi，Yi)}(i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ 中,求p(x)∈Φ ,使误差的平方和E^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点 {(Xi，Yi)}(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

最小二乘法的Matlab实现

① 一次函数 使用polyfit（x,y,1）　　②多项式函数 使用 polyfit（x,y,n），n为次数　　拟合曲线　　x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，　　y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。　　解：MATLAB程序如下：　　x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];　　y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];　　p=polyfit(x,y,2)　　x1=0.5:0.05:3.0;　　y1=polyval(p,x1);　　plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')　　计算结果为：　　p =0.5614 0.8287 1.1560　　即所得多项式为y=0.5614x^2+0.08287x+1.15560

　　③非线性函数 使用 lsqcurvefit(fun,x0,x,y)

 

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