矩阵奇异值分解SVD用于图像压缩的要点

矩阵奇异值分解：对于矩阵A，存在酉矩阵P和Q，使得P^HAQ=D，其中D为对角线矩阵，其对角线上的元素为矩阵A的奇异值；并且有A=PDQ^H。

       奇异值分解用于图像压缩的思路：从上面的理论中，我们可以看出D矩阵是稀疏矩阵，相对于原始矩阵（图像）A，D的有效数据少的多，而对于稀疏矩阵我们已经有很多压缩存储算法。然后，仅仅根据这个知识是无法直接把奇异值分解用于图像压缩的，因为在使用矩阵D来恢复矩阵A时，需要知道P和Q的内容，这样，反而增加了需要存储或传输的数据量，根本起不到压缩的作用。有人提出仅仅存储或传输矩阵D，而使用相同的P和Q，实验证明这种做法是行不通的，因为原始图像A的特征并没有全部存放在其特征值（与奇异值有对应关系）中，因此可能会得到意料之外的恢复结果

       要点：1）之所以能够把矩阵奇异值分解用于图像压缩，是因为在矩阵D中，对角线元素为矩阵A的奇异值，并且是从大到小排列的。这时，如果矩阵D中存在非常小（根据不同的需要来决定）的奇异值，则可以丢弃这些奇异值，同时，也就丢弃了矩阵P和Q中的某些行与列，从而减少了需要存储或传输的数据量，达到压缩的目的。当然，这属于有损压缩。2）如果对整个图像进行奇异值分解，运算量很大，这时，可以对原始图像进行分块计算，然后根据分块的特点自适应选择奇异值数目，可能效果会更好。3）对于对角线矩阵D这个特殊的稀疏矩阵，有很多压缩存储方式，但是考虑到其对角线特性，我认为将其转换成一维数组来存储或传输比较合适，在需要恢复原始图像时，也可以很容易地从一维数组转换成对角线矩阵D。