【解题报告】 SRM412_div1_250pt 和 SRM411_div2_900pt

SRM412_div1_250: Forbidden String

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题目描述：只考虑由A,B,C三字母组成的字符串，若字符串S存在三个连续的字母使得其中一个为A,一个为B,一个为C，则称S为forbidden string。例如，BAACAACCBAAA 是Forbidden String，而AABBCCAABB 不是。

给你字符串长度n，要求你计算有多少个not forbidden字符串。1<=n<=30。

解析1：可模拟字符串从长度为0开始不断往后append字母至长度为n的过程。当前位可添加的字母仅由其前2位决定（如果长度>=2的话，若长度<2可自由添加），而其前2位可能的情况有以下几种：AA,BB,CC,AB,AC,BC,BA,CA,CB

分别用1,2,3表示A,B,C的话，则可以用不大于40的几个数来表示所有可能的前缀。另外n的范围较小，因此首先想到用dp解决。dp[a][b]表示前a位的末2位对应整数为b时的非forbidden string数量(b=11,22,33,12,13,23,21,31,32)。则根据b的情况进行讨论，进行状态转换。当b对应的前缀其2位均相同时，则可添加A,B,C三种。当b对应的前缀其2位不同时，则可添加2种，具体哪2种由b决定。例如b=BA时，可添加A,B两种，不能添加C。

解析2：在解析1的基础上，我们知道最终not forbidden的字符串只由两类字符串组成：末2位相同和末2位不同的字符串，用r[t]表示长度为t且末2位相同的非forbidden字符串。用n[t]表示末2位不相同的非forbidden字符串。则r[t], n[t]与r[t-1], n[t-1]之间存在什么样的关系？由解析1可很容易地推出：

r[t] = r[t-1]+n[t-1];

n[t]=r[t-1]*2+n[t-1];

由此可在O(n)时间内解决。

 

typedef long long ll;

long long ForbiddenStrings::countNotForbidden(int N) {
    if(N == 1) return 3;
    if(N == 2) return 9;
     ll r[100], n[100];//r:the forbidden string that the last 2 chars are same. n:the forbidden string that the last 2 are diff.

     r[2]=3;n[2]=6;
    for(int i = 3; i <= N; i++){
         r[i] = r[i-1]+n[i-1];
         n[i] = n[i-1]+r[i-1]*2;
    }
    return r[N]+n[N];
}

SRM411_div2_900： HoleCakeCuts

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题目描述：有一个正方形蛋糕，其中心点坐标为(0,0)，X轴正向向右，Y轴正向向上，均与正方形边长平行。蛋糕边长为2O。在其内挖走一块边长为2I的同心正方形（即中心点也在（0，0））。然后对这个特殊的蛋糕进行横向（与Y轴平行）或纵向（与X轴平行）的切割。切割坐标已知（即横向切割的Y坐标和纵向切割的X坐标）。每个切割的长度均是无限的。求切割之后还剩多少块蛋糕（面积>0）。

题目解析：先不管蛋糕内的空心洞。用(x1,y1,x2,y2)表示一块矩形区域，其中x1,y1为左上角坐标，x2,y2为右下角坐标。每次切割都将当前矩形分为两部分，横向切割分为上下，纵向切割分为左右，根据切割坐标可得到两部分的左上角和右下角的坐标，由此进行递归。

关键问题在于，由于存在空心洞，因此需要注意两种情况：

即当某个切使得其得到的子矩形中有被空洞一分为二的情况时，此时这个子矩形不是一个完整的矩形（只剩下头和尾两部分，见图中黄色区域，中间都是空的），此时必须分将此子矩形为上下或左右两个子部分（中间的为空不包括在内），然后继续切割。根据空洞的边长可得到其左右或上下两个子块的坐标。代码如下：

 

class HoleCakeCuts {
public:
    int cutTheCake(int, int, vector <int>, vector <int>);
};

int out,in;
vector<pair<int,char> > cut;

bool In(int x1,int y1,int x2,int y2){
    if(abs(x1)<=in && abs(x2)<=in && abs(y1)<=in && abs(y2)<=in) return true;
    return false;
}

int solve(int x1,int y1,int x2,int y2,int p1){
    if(In(x1,y1,x2,y2)) return 0;//if current area is totally included by In, that means this area is empty.

    if(x1==x2 || y1==y2) return 0;//area should >0

    if(p1 == cut.size()){
        if(x1>=-in && x2<=in && y1>=in && y2<=-in) return 2;//key point! If current area is seprated by In into 2 parts.

        if(y1<=in && y2>=-in && x1<=-in && x2>=in) return 2;//key point! Then this area should count as 2 areas.

        return 1;
    }
    if(x1>=-in && x2<=in && y1>=in && y2<=-in){//key point! If area is sperated by In into 2parts.

        return solve(x1,y1,x2,in,p1)+solve(x1,-in,x2,y2,p1);
    }
    else if(y1<=in && y2>=-in && x1<=-in && x2>=in){//Then we should seperate it into 2parts, ans handle individually.

        return solve(x1,y1,-in,y2,p1)+solve(in,y1,x2,y2,p1);
    }
    bool ish=false,isv=false;
    int i;
    for(i = p1; i < cut.size(); i++){
        if(cut[i].second == 'h'){
            if(cut[i].first <= y1 && cut[i].first >=y2){//valid cut for current area.

                 ish = true;
                break;
            }
        }
        else{
            if(cut[i].first >= x1 && cut[i].first <=x2){//valid cut for current area.

                 isv = true;
                break;
            }
        }
    }
    if(!ish && !isv) return solve(x1,y1,x2,y2,p1+1);//this cut is invalid for current area. Then just move on.

    if(ish){//horizonal cut

        return solve(x1,y1,x2,cut[i].first,p1+1)+solve(x1,cut[i].first,x2,y2,p1+1);
    }
    else{//vertical cut

        return solve(x1,y1,cut[i].first,y2,p1+1)+solve(cut[i].first,y1,x2,y2,p1+1);
    }
}

int HoleCakeCuts::cutTheCake(int cakeLength, int holeLength, vector <int> h, vector <int> v) {
     out=cakeLength;
     in=holeLength;
     cut.clear();
    for(int i = 0; i < h.size(); i++)
         cut.push_back(make_pair(h[i],'h'));
    for(int i = 0; i < v.size(); i++)
         cut.push_back(make_pair(v[i],'v'));
    return solve(-out,out,out,-out,0);//topleftx,toplefty,downrightx,downrighty

}