Ford-Fulkerson与Edmonds-Karp求解最大流

       在算法导论中对求解最大流问题给出了一般性的解决方法，但并没有涉及到具体的实现。在这里我还是重新的对求解最大流的思想进行一般性的描述，然后再给出具体的实现。

      Ford-Fulkerson方法依赖于三种重要思想，这三个思想就是在上一篇网络流基础中提到的：残留网络，增广路径和割。Ford-Fulkerson方法是一种迭代的方法。开始时，对所有的u，v∈V有f(u,v)=0，即初始状态时流的值为0。在每次迭代中，可通过寻找一条“增广路径”来增加流值。增广路径可以看成是从源点s到汇点t之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。反复进行这一过程，直至增广路径都被找出来，根据最大流最小割定理，当不包含增广路径时，f是G中的一个最大流。在算法导论中给出的Ford-Fulkerson实现代码如下：

     FORD_FULKERSON(G,s,t)
     1   for each edge(u,v)∈E[G]
     2        do f[u,v] <— 0
     3            f[v,u] <— 0
     4   while there exists a path p from s to t in the residual network Gf
     5        do cf(p) <— min{ cf(u,v) : (u,v) is in p }
     6        for each edge(u,v) in p
     7             do f[u,v] <— f[u,v]+cf(p)         //对于在增广路径上的正向的边，加上增加的流
     8                  f[v,u] <— -f[u,v]                //对于反向的边，根据反对称性求

     第1~3行初始化各条边的流为0，第4~8就是不断在残留网络Gf中寻找增广路径，并沿着增广路径的方向更新流的值，直到找不到增广路径为止。而最后的最大流也就是每次增加的流值cf(p)之和。在实际的实现过程中，我们可以对上述代码做些调整来达到更好的效果。如果我们采用上面的方法，我们就要保存两个数组，一个是每条边的容量数组c，一个就是上面的每条边的流值数组f，在增广路径中判断顶点u到v是否相同时我们必须判断c[u][v]-f[u][v]是否大于0，但是因为在寻找增广路径时是对残留网络进行查找，所以我们可以只保存一个数组c来表示残留网络的每条边的容量就可以了，这样我们在2~3行的初始化时，初始化每条边的残留网络的容量为G的每条边的容量（因为每条边的初始流值为0）。而更新时，改变7~8行的操作，对于在残留网络上的边(u,v)执行c[u][v]-=cf(p)，而对其反向的边(v,u)执行c[v][u]+=cf(p)即可。

      现在剩下的最关键问题就是如何寻找增广路径。而Ford-Fulkerson方法的运行时间也取决于如何确定第4行中的增广路径。如果选择的方法不好，就有可能每次增加的流非常少，而算法运行时间非常长，甚至无法终止。对增广路径的寻找方法的不同形成了求最大流的不同算法，这也是Ford-Fulkerson被称之为“方法”而不是“算法”的原因。下面将给出Ford-Fulkerson方法的具体实现细节：

 

int c[MAX][MAX]; //残留网络容量int pre[MAX]; //保存增广路径上的点的前驱顶点bool visit[MAX];int Ford_Fulkerson(int src,int des,int n){ //src：源点 des：汇点 n：顶点个数 int i,_min,total=0; while(true){ if(!Augmenting_Path(src,des,n))return total; //如果找不到增广路就返回，在具体实现时替换函数名 _min=(1<<30); i=des; while(i!=src){ //通过pre数组查找增广路径上的边，求出残留容量的最小值 if(_min>c[pre[i]][i])_min=c[pre[i]][i]; i=pre[i]; } i=des; while(i!=src){ //再次遍历，更新增广路径上边的流值 c[pre[i]][i]-=_min; c[i][pre[i]]+=_min; i=pre[i]; } total+=_min; //每次加上更新的值 }}  

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Edmonds-Karp算法实际上就是采用广度优先搜索来实现对增广路径的p的计算，代码如下：

bool Edmonds_Karp(int src,int des,int n){ int v,i; for(i=0;i<n;i++)visit[i]=false; front=rear=0; //初始化 que[rear++]=src; visit[src]=true; while(front!=rear){ //将源点进队后开始广搜的操作 v=que[front++]; //这里如果采用邻接表的链表实现会有更好的效率，但是要注意(u,v)或(v,u)有任何一条 //边存在于原网络流中，那么邻接表中既要包含(u,v)也要包含(v,u) for(i=0;i<n;i++){ if(!visit[i]&&c[v][i]){ //只有残留容量大于0时才存在边 que[rear++]=i; visit[i]=true; pre[i]=v; if(i==des)return true; //如果已经到达汇点，说明存在增广路径返回true } } } return false;}

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