数据结构学习—二叉树

　　这些天参与了CSDN论坛的讨论，改变了我以前的一些看法。回头看我以前的东西，我虽对这本书很不满，但我还是按照它的安排在一点点的写；这样就导致了，我过多的在意书中的偏漏，我写的更多是说“这本书怎样”，而偏离了我写这些的初衷——给正在学习数据结构的人一些帮助。正像我在前面所说的，虽然现有的教科书都不是很合理，但如果仅仅是抱怨这点，那无异于泼妇骂街。虽然本人的水平连初级都够不上，但至少先从我做一点尝试，以后这门课的教授方法必将一点点趋于合理。

　　因此，后面不在按照书上的次序，将本着“实际应用（算法）决定数据结构”的思想来讲解，常见教科书上有的，基本不再重点叙述（除了重点，例如AVL树的平衡旋转），——因此，在看本文的同时，一定要有一本教科书。这只是一个尝试，希望大家多提宝贵意见。

　　树

　　因为现实世界中存在这“树”这种结构——族谱、等级制度、目录分类等等，而为了研究这类问题，必须能够将树储存，而如何储存将取决于所需要的操作。这里有个问题，是否允许存在空树。有些书认为树都是非空的，因为树表示的是一种现实结构，而0不是自然数；我用过的教科书都是说可以有空树，当然是为了和二叉树统一。这个没有什么原则上的差别，反正就是一种习惯。

　　二叉树

　　二叉树可以说是人们假想的一个模型，因此，允许有空的二叉树是无争议的。二叉树是有序的，左边有一个孩子和右边有一个的二叉树是不同的两棵树。做这个规定，是因为人们赋予了左孩子和右孩子不同的意义，在二叉树的各种应用中，你将会清楚的看到。下面只讲解链式结构。看各种讲数据结构的书，你会发现一个有趣的现象：在二叉树这里，基本操作有计算树高、各种遍历，就是没有插入、删除——那树是怎么建立起来的？其实这很好理解，对于非线性的树结构，插入删除操作不在一定的法则规定下，是毫无意义的。因此，只有在具体的应用中，才会有插入删除操作。

　　节点结构

　　数据域、左指针、右指针肯定是必须的。除非很少用到节点的双亲，或者是资源紧张，建议附加一个双亲指针，这将会给很多算法带来方便，尤其是在这个“空间换时间”的时代。

　　template

　　struct BTNode

　　{

　　 BTNode(T data = T(), BTNode* left = NULL, BTNode* right = NULL, BTNode* parent = NULL)

　　 : data(data), left(left), right(right), parent(parent) {}

　　 BTNode *left, *right, *parent;

　　 T data;

　　};

　　基本的二叉树类

　　template

　　class BTree

　　{

　　public:

　　 BTree(BTNode *root = NULL) : root(root) {}

　　 ~BTree() { MakeEmpty(); }

　　 void MakeEmpty() { destroy(root); root = NULL; }

　　protected:

　　 BTNode *root；

　　private:

　　 void destroy(BTNode* p)

　　 {

　　 if (p)

　　 {

　　 destroy(p->left);

　　 destroy(p->right);

　　 delete p;

　　 }

　　 }

　　}

　　二叉树的遍历

　　基本上有4种遍历方法，先、中、后根，逐层。当初我对这个很迷惑，搞这么多干什么？到了后面才明白，这是不同的应用需要的。例如，判断两个二叉树是否相等，只要子树根节点不同，那么就不等，显然这时要用先序遍历；而删除二叉树，必须先删除左右子树，然后才能删除根节点，这时就要用后序遍历。

　　实际上，搞这么多遍历方法，根本原因是在内存中储存的树是非线性结构。对于用数组储存的二叉树，这些名目繁多的方法都是没有必要的。利用C++的封装和重载特性，这些遍历方法能很清晰的表达。

　　1. 前序遍历

　　public:

　　void PreOrder(void (*visit)(T &data) = print) { PreOrder(root, visit); }

　　private:

　　void PreOrder(BTNode* p, void (*visit)(T &data))

　　{

　　if (p){ visit(p->data); PreOrder(p->left, visit); PreOrder(p->right, visit); }

　　}

　　2. 中序遍历

　　public:

　　 void InOrder(void (*visit)(T &data) = print) { InOrder(root, visit); }

　　private:

　　void InOrder(BTNode* p, void (*visit)(T &data))

　　{

　　 if (p){ InOrder(p->left, visit); visit(p->data); InOrder(p->right, visit); }

　　 }

　　3. 后序遍历

　　public:

　　 void PostOrder(void (*visit)(T &data) = print) { PostOrder(root, visit); }

　　private:

　　void PostOrder(BTNode* p, void (*visit)(T &data))

　　{

　　 if (p){ PostOrder(p->left, visit); PostOrder(p->right, visit); visit(p->data); }

　　 }

　　4. 层次遍历

　　void LevelOrder(void (*visit)(T &data) = print)

　　{

　　 queue< BTNode* > a; BTNode* p = root;//记得#include

　　 while (p)

　　 {

　　 visit(p->data);

　　 if (p->left) a.push(p->left); if (p->right) a.push(p->right);

　　 if (a.empty()) break; p = a.front(); a.pop();

　　 }

　　 }
附注：缺省的visit函数print如下

　　private:

　　 static void print(T &data) { cout << data << ' '; }

　　5. 不用栈的非递归中序遍历

　　当有parent指针时，可以不用栈实现非递归的中序遍历，书上提到了有这种方法，但没给出例程。

　　public:

　　BTNode* next()

　　{

　　 if(!current) return NULL;

　　 if (current->right) { current = current->right; while (current->left) current = current->left; }

　　 else

　　 {

　　 BTNode* y = current->parent;

　　 while (y && current == y->right) {current = y; y = y->parent; }

　　 current = y;

　　 }

　　 return current;

　　}

　　private:

　　BTNode* current;

　　上面的函数能使current指针向前移动一个位置，如果要遍历整棵二叉树，需要使current指向中序序列的第一个节点，例如下面的成员函数：

　　public:

　　void first() { current = root; while (current->left) current = current->left; }

　　【2】

　　线索化二叉树

　　这是数据结构课程里第一个碰到的难点，不知道你是不是这样看，反正我当初是费了不少脑细胞——当然，恼人的矩阵压缩和相关的加法乘法运算不在考虑之列。我费了不少脑细胞是因为思考：他们干什么呢？很欣喜的看到在这本黄皮书上，这章被打了*号，虽然我不确定作者是不是跟我一个想法——线索化二叉树在现在的PC上是毫无用处的！——不知我做了这个结论是不是会被人骂死，^_^。

　　为了证明这个结论，我们来看看线索化二叉树提出的缘由：第一，我们想用比较少的时间，寻找二叉树某一个遍历线性序列的前驱或者后继。当然，这样的操作很频繁的时候，做这方面的改善才是有意义的。第二，二叉树的叶子节点还有两个指针域没有用，可以节省内存。说真的，提出线索化二叉树这样的构思真的很精巧，完全做到了“废物利用”——这个人真应该投身环保事业。但在计算机这个死板的东西身上，人们的精巧构思往往都是不能实现的——为了速度，计算机的各个部件都是整齐划一的，而构思的精巧往往都是建立在组成的复杂上的。

　　我们来看看线索化二叉树究竟能不能达到上面的两个目标。

　　求遍历后的线性序列的前驱和后继。前序线索化能依次找到后继，但是前驱需要求双亲；中序线索化前驱和后继都不需要求双亲，但是都不很直接；后序线索化能依次找到前驱，但是后继需要求双亲。可以看出，线索化成中序是最佳的选择，基本上算是达到了要求。

　　节省内存。添加了两个标志位，问题是这两个位怎么储存？即使是在支持位存储的CPU上，也是不能拿位存储器来存的，第一是因为结构体成员的地址是在一起的，第二是位存储器的数目是有限的。因此，最少需要1个字节来储存这两个标志位。而为了速度和移植，一般来说，内存是要对齐的，实际上根本就没节省内存！然而，当这个空间用来储存双亲指针时，带来的方便绝对不是线索化所能比拟的，前面已经给出了无栈的非递归遍历。并且，在线索化二叉树上插入删除操作附加的代价太大。

　　综上，线索化最好是中序线索化（前序后序线索化后还得用栈，何必要线索化呢），附加的标志域空间至少1个字节，在32位的CPU会要求对齐到4字节，还不如存储一个双亲指针，同样能达到中序线索化的目的，并且能带来其他的好处。所以，线索化二叉树在现在的PC上是毫无用处的！

　　由于对其他体系不太了解，以下观点姑妄听之。在内存空间非常充裕的现在，一个节点省2～3个字节实在是没什么意思（实际上由于对齐还省不出来）；而在内存非常宝贵的地方（比如单片机），会尽量避免使用树结构——利用其他的方法。所以，现在看来，线索化二叉树真的是毫无用处了。

　　二叉搜索树

　　这恐怕是二叉树最重要的一个应用了。它的构想实际是个很自然的事情——查找值比当前节点小转左，大转右，等则查到，到头了就是没找着。越自然的东西越好理解，也就越不需要我废话。在给出BST的实现之前，我们要在二叉树的类中添加一个打印树状结构的成员函数，这样，就能清楚的看出插入和删除过程。

　　public:

　　void print()

　　{

　　 queue< BTNode* > a; queue flag; ofstream outfile("out.txt");

　　 BTNode* p = root; BTNode zero; bool v = true;

　　 int i = 1, level = 0, h = height();

　　 while (i < 2<
　　 {

　　 if (i == 1<
　　 {

　　 cout << endl << setw(2 <<(h - level)); level++;

　　 if (v) cout << p->data;

　　 else cout << ' ';

　　 }

　　 else

　　 {

　　 cout << setw(4 <<(h - level + 1));

　　 if (v) cout << p->data;

　　 else cout << " ";

　　 }

　　 if (p->left) { a.push(p->left); flag.push(true); }

　　 else { a.push(&zero); flag.push(false); }

　　 if (p->right) { a.push(p->right); flag.push(true); }

　　 else { a.push(&zero); flag.push(false); }

　　 p = a.front(); a.pop(); v = flag.front(); flag.pop(); i++;

　　 }

　　 cout << endl;

　　}

　　打印树状结构的核心是按层次遍历二叉树，但是，二叉树有许多节点缺左或右子树，连带的越到下面空隙越大。为了按照树的结构打印，必须把二叉树补成完全二叉树，这样下面的节点就知道放在什么位置了——a.push(&zero);但是这样的节点不能让它打印出来，所以对应每个节点，有一个是否打印的标志，按理说pair结构很合适，为了简单我用了并列的两个队列，一个放节点指针——a，一个放打印标志——flag。这样一来，循环结束的标志就不能是队列空——永远都不可能空，碰到NULL就补一个节点——而是变成了到了满二叉树的最后一个节点2^(height+1)-1。——黄皮书对于树高的定义是，空树为的高度为－1。

　　对于输出格式，注意的是到了第1、2、4、8号节点要换行，并且在同一行中，第一个节点的域宽是后序节点的一半。上面的函数在树的层次少于等于5（height<=4）的时候能正常显示，再多的话就必须输出到文件中去ofstream outfile("out.txt");——如果层次再多的话，打印出来也没什么意义了。

　　二叉搜索树的实现

　　实际上就是在二叉树的基础上增加了插入、删除、查找。

　　#include "BaseTree.h"

　　template

　　class BSTree : public BTree

　　{

　　public:

　　 BTNode* &find(const T &data)

　　 {

　　 BTNode** p = &root; current = NULL;

　　 while(*p)

　　 {

　　 if ((*p)->data == data) break;

　　 if ((*p)->data < data) { current = *p; p = &((*p)->right); }

　　 else { current = *p; p = &((*p)->left); }

　　 }

　　 return *p;

　　 }

　　 bool insert(const T &data)

　　 {

　　 BTNode* &p = find(data); if (p) return false;

　　 p = new BTNode(data, NULL, NULL, current); return true;

　　 }

　　 bool remove(const T &data)

　　 {

　　 return remove(find(data));

　　 }

　　private:

　　bool remove(BTNode* &p)

　　{

　　 if (!p) return false; BTNode* t = p;

　　 if (!p->left 　　 !p->right)

　　 {

　　 if (!p->left) p = p->right; else p = p->left;

　　 if (p) p->parent = current;

　　 delete t; return true;

　　 }

　　 t=p->right;while(t->left) t=t->left;p->data=t->data;current=t->parent;

　　 return remove(current->left==t?current->left:current->right);

　　 }

　　};

　　以上代码有点费解，有必要说明一下——非线性链式结构操作的实现都是很让人费神。insert和remove都是以find为基础的，因此必须让find能最大限度的被这两个操作利用。

　　l 对于insert，需要修改查找失败时的指针内容，显然这是个内部指针（在双亲节点的内部，而不是象root和current那样在节点外面指向节点），这就要求find返回一个内部指针的引用。但是C++的引用绑定到一个对象之后，就不能再改变了，因此在find内部的实现是一个二重指针。insert操作还需要修改插入的新节点的parent指针域，因此在find中要产生一个能被insert访问的指向find返回值所在节点的指针，这里用的是current。实际上find返回的指针引用不是current->left就是current->right。这样一来，insert的实现就非常简单了。

　　l 对于remove，需要修改查找成功时的指针内容，同样是个内部指针。在find的基础上，很容易就能得到这个内部指针的引用(BTNode* &p = find(data)。

　　&Oslash; 在p->left和p->right中至少有一个为NULL的情况下，如果p->left ==NULL，那么就重连右子树p = p->right，反之，重连左子树p = p->left。注意，左右子树全空的情况也包含在这两个操作中了——在p->left ==NULL的时候重连右子树，而这时p->right也是NULL——因此不必列出来。如果重连后p不为空，需要修改p->parent = current。

　　&Oslash; 若p->left和p->right都不为空，可以转化为有一个为空。例如一个中序有序序列[1,2,3,4,5]，假设3既有左子树又有右子树，那么它的前驱2一定缺右子树，后继4一定缺少左子树。【注1】这样一来删除节点3就等效成从[1,2,3(4),4,5]删除节点4。这样就可以利用上面的在p->left和p->right中至少有一个为NULL的情况下的方法了。还是由于C++的引用不能改变绑定对象，这里是用利用递归来解决的，还好最多只递归一次。如果用二重指针又是满天星星了，这就是明明是尾递归却没有消去的原因。

　　【注1】这是因为，如果3既有左子树又有右子树，那么2一定在3的左子树上，4一定在3的右子树上；如果2有右子树，那么在2和3之间还应该有一个节点；如果4有左子树，那么3和4之间也应该还有一个节点。

　　【闲话】上面关于remove操作p->left和p->right都不为空的处理方法的讲解，源于严蔚敏老师的课件，看完后我豁然开朗，真不知道为什么她自己那本《数据结构（C语言版）》这里写的那么难懂，我是死活没看明白。

其他参考：

http://student.zjzk.cn/course_ware/data_structure/web/DOWNLOAD/%CA%FD%BE%DD%BD%E1%B9%B9%D3%EB%CB%E3%B7%A82.htm

http://wncj.vicp.net/course/hep/shujujiegou/page/chap06/060101.asp