回溯算法详解

转自 ：http://zhuiqiuyongheng.zhaou.com.cn/20110112/44683.html

回溯法是什么东西,

回溯法(探索与回溯法)是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

一般表达
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。 解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。
规律
我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着j（j<i）元组（x1，x2，…，xj）一定也满足D中仅涉及到x1，x2，…，xj的所有约束，i=1，2，…，n。换句话说，只要存在0≤j≤n-1，使得（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及到x1，x2，…，xj的约束之一，则以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）一定也违反D中仅涉及到x1，x2，…，xi的一个约束，n≥i>j。因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及x1，x2，…，xj的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。


（1）针对所给问题，定义问题的解空间； （2）确定易于搜索的解空间结构； （3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。 回溯法C语言举例 八皇后问题是能用回溯法解决的一个经典问题。 八皇后问题是一个古老而著名的问题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
用回溯法解决八皇后问题的C语言程序
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> int col[9]={0},a[9]; int b[17],c[17]; main() { int m,good; int i,j,k; char q; for(i=0;i<17;i++) { if(i<9) a[i]=1; b[i]=1;c[i]=1; } good=1; col[1]=1; m=1; while(col[0]!=1) { if(good) if(m==8) { for(i=1;i<9;i++) printf("col[%d] %d/n",i,col[i]); printf("input 'q' to quit/n"); scanf("%c",&q); getchar(); if(q=='q'||q=='Q') exit(0); while(col[m]==8) { m--; a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[8+m-col[m]]=1; } a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[8+m-col[m]]=1; col[m]++; } else { a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[8+m-col[m]]=0; m++; col[m]=1; } else { while(col[m]==8) { m--; a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[8+m-col[m]]=1; } col[m]++; } good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[8+m-col[m]]; } } 

什么是回溯法

从问题一的解决中，我们看到解决问题的思路是先选择某一可能的线索进行试探，每一步试探都有多种方 式，将每一方式都一一试探，如有问题就返回纠正，反复进行这种试探再返回纠正，直到得出全部符合条件的 答案或是问题无解为止。这种解决问题的方法就是回溯法。

回溯的意思？

回溯就是往回推算、往回寻找

C语言中什么叫算法,算法在程序设计中的重要作用

一、什么是算法
算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。算法常常含有重复的步骤和一些比较或逻辑判断。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。
算法的时间复杂度是指算法需要消耗的时间资源。一般来说，计算机算法是问题规模n 的函数f(n)，算法执行的时间的增长率与f(n) 的增长率正相关，称作渐进时间复杂度（Asymptotic Time Complexity）。时间复杂度用“O（数量级）”来表示，称为“阶”。常见的时间复杂度有： O（1）常数阶；O（log2n）对数阶；O（n）线性阶；O（n2）平方阶。
算法的空间复杂度是指算法需要消耗的空间资源。其计算和表示方法与时间复杂度类似，一般都用复杂度的渐近性来表示。同时间复杂度相比，空间复杂度的分析要简单得多。

二、算法设计的方法
1.递推法
递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。设要求问题规模为N的解，当N=1时，解或为已知，或能非常方便地得到解。能采用递推法构造算法的问题有重要的递推性质，即当得到问题规模为i-1的解后，由问题的递推性质，能从已求得的规模为1，2，…，i-1的一系列解，构造出问题规模为I的解。这样，程序可从i=0或i=1出发，重复地，由已知至i-1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直至得到规模为N的解。 
【问题】 阶乘计算 
问题描述：编写程序，对给定的n（n≤100），计算并输出k的阶乘k！（k=1，2，…，n）的全部有效数字。 
由于要求的整数可能大大超出一般整数的位数，程序用一维数组存储长整数，存储长整数数组的每个元素只存储长整数的一位数字。如有m位成整数N用数组a[ ]存储： 
N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100 
并用a[0]存储长整数N的位数m，即a[0]=m。按上述约定，数组的每个元素存储k的阶乘k！的一位数字，并从低位到高位依次存于数组的第二个元素、第三个元素……。例如，5！=120，在数组中的存储形式为： 
3 0 2 1 …… 
首元素3表示长整数是一个3位数，接着是低位到高位依次是0、2、1，表示成整数120。 
计算阶乘k！可采用对已求得的阶乘(k-1)！连续累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，计算5！，可对原来的24累加4次24后得到120。细节见以下程序。 
# include <stdio.h> 
# include <malloc.h> 
......
2.递归
递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 
能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。 
【问题】 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。 
斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即： 
fib(0)=0; 
fib(1)=1; 
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n>1时）。 
写成递归函数有： 
int fib(int n) 
{ if (n==0) return 0; 
if (n==1) return 1; 
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); 
} 
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n-2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。 
在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。 
在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。 
由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。 
【问题】 组合问题 
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1 
（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1 
（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1 
（10）3、2、1 
分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 
【程序】 
# include <stdio.h> 
# define MAXN 100 
int a[MAXN]; 
void comb(int m,int k) 
{ int i,j; 
for (i=m;i>=k;i--) 
{ a[k]=i; 
if (k>1) 
comb(i-1,k-1); 
else 
{ for (j=a[0];j>0;j--) 
printf(“%4d”,a[j]); 
printf(“/n”); 
} 
} 
} 

void main() 
{ a[0]=3; 
comb(5,3); 
}
3.回溯法
回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。 

【问题】 组合问题 
问题描述：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。 
采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质： 
（1） a[i+1]>a，后一个数字比前一个大； 
（2） a-i<=n-r+1。 
按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下： 
首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下： 
【程序】 
# define MAXN 100 
int a[MAXN]; 
void comb(int m,int r) 
{ int i,j; 
i=0; 
a=1; 
do { 
if (a-i<=m-r+1 
{ if (i==r-1) 
{ for (j=0;j<r;j++) 
printf(“%4d”,a[j]); 
printf(“/n”); 
} 
a++; 
continue; 
} 
else 
{ if (i==0) 
return; 
a[--i]++; 
} 
} while (1) 
} 

main() 
{ comb(5,3); 
}

4.贪婪法
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。 
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。
【问题】 装箱问题 
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。 
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下： 
{ 输入箱子的容积； 
输入物品种数n； 
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； 
预置已用箱子链为空； 
预置已用箱子计数器box_count为0； 
for (i=0;i<n;i++) 
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； 
if （已用箱子都不能再放物品i） 
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； 
box_count++； 
} 
else 
将物品i放入箱子j； 
} 
} 
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。 
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。 
}

5.分治法
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模N有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算；n=2时，只要作一次比较即可排好序；n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。 
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。 
如果原问题可分割成k个子问题（1<k≤n），且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。 
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征： 
（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 
（2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质； 
（3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； 
（4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。 
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。 
分治法在每一层递归上都有三个步骤： 
（1）分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题； 
（2）解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题； 
（3）合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。 
6.动态规划法
经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。 
为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。以下先用实例说明动态规划方法的使用。 
【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列 
问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。 
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质： 
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列； 
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列； 
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。 
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。 
代码如下：
# include <stdio.h> 
# include <string.h> 
# define N 100 
char a[N],b[N],str[N]; 

int lcs_len(char *a, char *b, int c[ ][ N]) 
{ int m=strlen(a), n=strlen(b), i,j; 
for (i=0;i<=m;i++) c[0]=0; 
for (i=0;i<=n;i++) c[0]=0; 
for (i=1;i<=m;i++) 
for (j=1;j<=m;j++) 
if (a[i-1]==b[j-1]) 
c[j]=c[i-1][j-1]+1; 
else if (c[i-1][j]>=c[j-1]) 
c[j]=c[i-1][j]; 
else 
c[j]=c[j-1]; 
return c[m][n]; 
} 

char *buile_lcs(char s[ ],char *a, char *b) 
{ int k, i=strlen(a), j=strlen(b); 
k=lcs_len(a,b,c); 
s[k]=’’; 
while (k>0) 
if (c[j]==c[i-1][j]) i--; 
else if (c[j]==c[j-1]) j--; 
else { s[--k]=a[i-1]; 
i--; j--; 
} 
return s; 
} 

void main() 
{ printf (“Enter two string（<%d）!/n”,N); 
scanf(“%s%s”,a,b); 
printf(“LCS=%s/n”,build_lcs(str,a,b)); 
}
7.迭代法
迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行： 
（1） 选一个方程的近似根，赋给变量x0； 
（2） 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0； 
（3） 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。 
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为：
程序如下： 
【算法】迭代法求方程组的根 
{ for (i=0;i<n;i++) 
x=初始近似根; 
do { 
for (i=0;i<n;i++) 
y = x; 
for (i=0;i<n;i++) 
x = gi(X); 
for (delta=0.0,i=0;i<n;i++) 
if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)； } while (delta>Epsilon)； 
for (i=0;i<n;i++) 
printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”，I，x)； 
printf(“/n”)； 
} 具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： 
（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制； 
（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。
8.穷举搜索法
穷举搜索法是对可能是解的众多候选解按某种顺序进行逐一枚举和检验，并从众找出那些符合要求的候选解作为问题的解。 
【问题】 将A、B、C、D、E、F这六个变量排成如图所示的三角形，这六个变量分别取[1，6]上的整数，且均不相同。求使三角形三条边上的变量之和相等的全部解。如图就是一个解。 
程序引入变量a、b、c、d、e、f，并让它们分别顺序取1至6的整数，在它们互不相同的条件下，测试由它们排成的如图所示的三角形三条边上的变量之和是否相等，如相等即为一种满足要求的排列，把它们输出。当这些变量取尽所有的组合后，程序就可得到全部可能的解。程序如下：
按穷举法编写的程序通常不能适应变化的情况。如问题改成有9个变量排成三角形，每条边有4个变量的情况，程序的循环重数就要相应改变。

编程基础或者说是编译器基础

我先给你介绍一些最基础的知识吧。
计算机公共基础。里面应该有你要的知识，我学计算机的，开始学的就是这个，我也考了二级，考的公共基础，你看看吧，可能有点多，耐心看就行了
《公共基础知识总结 》

第一章数据结构与算法
1.1 算法
算法：是指解题方案的准确而完整的描述。
算法不等于程序，也不等计算机方法，程序的编制不可能优于算法的设计。
算法的基本特征：是一组严谨地定义运算顺序的规则，每一个规则都是有效的，是明确的，此顺序将在有限的次数下终止。特征包括：
（1）可行性；
（2）确定性，算法中每一步骤都必须有明确定义，不充许有模棱两可的解释，不允许有多义性；
（3）有穷性，算法必须能在有限的时间内做完，即能在执行有限个步骤后终止，包括合理的执行时间的含义；
（4）拥有足够的情报。
算法的基本要素：一是对数据对象的运算和操作；二是算法的控制结构。
指令系统：一个计算机系统能执行的所有指令的集合。
基本运算和操作包括：算术运算、逻辑运算、关系运算、数据传输。
算法的控制结构：顺序结构、选择结构、循环结构。
算法基本设计方法：列举法、归纳法、递推、递归、减斗递推技术、回溯法。
算法复杂度：算法时间复杂度和算法空间复杂度。
算法时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。
算法空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。
1.2 数据结构的基本基本概念
数据结构研究的三个方面：
（1）数据集合中各数据元素之间所固有的逻辑关系，即数据的逻辑结构；
（2）在对数据进行处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数据的存储结构；
（3）对各种数据结构进行的运算。
数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。
数据的逻辑结构包含：
（1）表示数据元素的信息；
（2）表示各数据元素之间的前后件关系。
数据的存储结构有顺序、链接、索引等。
线性结构条件：
（1）有且只有一个根结点；
（2）每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。
非线性结构：不满足线性结构条件的数据结构。
1．3 线性表及其顺序存储结构
线性表由一组数据元素构成，数据元素的位置只取决于自己的序号，元素之间的相对位置是线性的。
在复杂线性表中，由若干项数据元素组成的数据元素称为记录，而由多个记录构成的线性表又称为文件。
非空线性表的结构特征：
（1）且只有一个根结点a1，它无前件；
（2）有且只有一个终端结点an，它无后件；
（3）除根结点与终端结点外，其他所有结点有且只有一个前件，也有且只有一个后件。结点个数n称为线性表的长度，当n=0时，称为空表。
线性表的顺序存储结构具有以下两个基本特点：
（1）线性表中所有元素的所占的存储空间是连续的；
（2）线性表中各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。
ai的存储地址为：ADR(ai)=ADR(a1)+(i-1)k,，ADR(a1)为第一个元素的地址，k代表每个元素占的字节数。
顺序表的运算：插入、删除。 （详见14--16页）
1．4 栈和队列
栈是限定在一端进行插入与删除的线性表，允许插入与删除的一端称为栈顶，不允许插入与删除的另一端称为栈底。
栈按照“先进后出”（FILO）或“后进先出”（LIFO）组织数据，栈具有记忆作用。用top表示栈顶位置，用bottom表示栈底。
栈的基本运算：（1）插入元素称为入栈运算；（2）删除元素称为退栈运算；（3）读栈顶元素是将栈顶元素赋给一个指定的变量，此时指针无变化。
队列是指允许在一端（队尾）进入插入，而在另一端（队头）进行删除的线性表。Rear指针指向队尾，front指针指向队头。
队列是“先进行出”（FIFO）或“后进后出”（LILO）的线性表。
队列运算包括（1）入队运算：从队尾插入一个元素；（2）退队运算：从队头删除一个元素。
循环队列：s=0表示队列空，s=1且front=rear表示队列满
1．5 线性链表
数据结构中的每一个结点对应于一个存储单元，这种存储单元称为存储结点，简称结点。
结点由两部分组成：（1）用于存储数据元素值，称为数据域；（2）用于存放指针，称为指针域，用于指向前一个或后一个结点。
在链式存储结构中，存储数据结构的存储空间可以不连续，各数据结点的存储顺序与数据元素之间的逻辑关系可以不一致，而数据元素之间的逻辑关系是由指针域来确定的。
链式存储方式即可用于表示线性结构，也可用于表示非线性结构。
线性链表，HEAD称为头指针，HEAD=NULL（或0）称为空表，如果是两指针：左指针（Llink）指向前件结点，右指针（Rlink）指向后件结点。
线性链表的基本运算：查找、插入、删除。
1．6 树与二叉树
树是一种简单的非线性结构，所有元素之间具有明显的层次特性。
在树结构中，每一个结点只有一个前件，称为父结点，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称树的根。每一个结点可以有多个后件，称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点。
在树结构中，一个结点所拥有的后件的个数称为该结点的度，所有结点中最大的度称为树的度。树的最大层次称为树的深度。
二叉树的特点：（1）非空二叉树只有一个根结点；（2）每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树与右子树。
二叉树的基本性质：
（1）在二叉树的第k层上，最多有2k-1(k≥1)个结点；
（2）深度为m的二叉树最多有2m-1个结点；
（3）度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个；
（4）具有n个结点的二叉树，其深度至少为[log2n]+1,其中[log2n]表示取log2n的整数部分；
（5）具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1；
（6）设完全二叉树共有n个结点。如果从根结点开始，按层序（每一层从左到右）用自然数1，2，….n给结点进行编号（k=1,2….n），有以下结论：
①若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点；若k>1，则该结点的父结点编号为INT(k/2)；
②若2k≤n，则编号为k的结点的左子结点编号为2k；否则该结点无左子结点（也无右子结点）；
③若2k+1≤n，则编号为k的结点的右子结点编号为2k+1；否则该结点无右子结点。
满二叉树是指除最后一层外，每一层上的所有结点有两个子结点，则k层上有2k-1个结点深度为m的满二叉树有2m-1个结点。
完全二叉树是指除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值，在最后一层上只缺少右边的若干结点。
二叉树存储结构采用链式存储结构，对于满二叉树与完全二叉树可以按层序进行顺序存储。
二叉树的遍历：
（1）前序遍历（DLR），首先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树；
（2）中序遍历（LDR），首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树；
（3）后序遍历（LRD）首先遍历左子树，然后访问遍历右子树，最后访问根结点。
1．7 查找技术
顺序查找的使用情况：
（1）线性表为无序表；
（2）表采用链式存储结构。
二分法查找只适用于顺序存储的有序表，对于长度为n的有序线性表，最坏情况只需比较log2n次。
1．8 排序技术
排序是指将一个无序序列整理成按值非递减顺序排列的有序序列。
交换类排序法：（1）冒泡排序法，需要比较的次数为n(n-1)/2；（2）快速排序法。
插入类排序法：（1）简单插入排序法，最坏情况需要n(n-1)/2次比较；（2）希尔排序法，最坏情况需要O(n1.5)次比较。
选择类排序法：（1）简单选择排序法, 
最坏情况需要n(n-1)/2次比较；（2）堆排序法，最坏情况需要O(nlog2n)次比较。


第二章程序设计基础
2．1 程序设计设计方法和风格
如何形成良好的程序设计风格
1、源程序文档化； 2、数据说明的方法；
3、语句的结构； 4、输入和输出。
注释分序言性注释和功能性注释，语句结构清晰第一、效率第二。
2．2 结构化程序设计
结构化程序设计方法的四条原则是：1. 自顶向下；2. 逐步求精；3.模块化；4.限制使用goto语句。
结构化程序的基本结构和特点：
（1）顺序结构：一种简单的程序设计，最基本、最常用的结构；
（2）选择结构：又称分支结构，包括简单选择和多分支选择结构，可根据条件，判断应该选择哪一条分支来执行相应的语句序列；
（3）重复结构：又称循环结构，可根据给定条件，判断是否需要重复执行某一相同程序段。
2．3 面向对象的程序设计
面向对象的程序设计：以60年代末挪威奥斯陆大学和挪威计算机中心研制的SIMULA语言为标志。
面向对象方法的优点：
（1）与人类习惯的思维方法一致；
（2）稳定性好；
（3）可重用性好；
（4）易于开发大型软件产品；
（5）可维护性好。
对象是面向对象方法中最基本的概念，可以用来表示客观世界中的任何实体，对象是实体的抽象。
面向对象的程序设计方法中的对象是系统中用来描述客观事物的一个实体，是构成系统的一个基本单位，由一组表示其静态特征的属性和它可执行的一组操作组成。
属性即对象所包含的信息，操作描述了对象执行的功能，操作也称为方法或服务。
对象的基本特点：
（1）标识惟一性；
（2）分类性；
（3）多态性；
（4）封装性；
（5）模块独立性好。
类是指具有共同属性、共同方法的对象的集合。所以类是对象的抽象，对象是对应类的一个实例。
消息是一个实例与另一个实例之间传递的信息。
消息的组成包括（1）接收消息的对象的名称；（2）消息标识符，也称消息名；（3）零个或多个参数。
继承是指能够直接获得已有的性质和特征，而不必重复定义他们。
继承分单继承和多重继承。单继承指一个类只允许有一个父类，多重继承指一个类允许有多个父类。
多态性是指同样的消息被不同的对象接受时可导致完全不同的行动的现象。

第三章软件工程基础
3．1 软件工程基本概念
计算机软件是包括程序、数据及相关文档的完整集合。
软件的特点包括：
（1）软件是一种逻辑实体；
（2）软件的生产与硬件不同，它没有明显的制作过程；
（3）软件在运行、使用期间不存在磨损、老化问题；
（4）软件的开发、运行对计算机系统具有依赖性，受计算机系统的限制，这导致了软件移植的问题；
（5）软件复杂性高，成本昂贵；
（6）软件开发涉及诸多的社会因素。
软件按功能分为应用软件、系统软件、支撑软件（或工具软件）。
软件危机主要表现在成本、质量、生产率等问题。
软件工程是应用于计算机软件的定义、开发和维护的一整套方法、工具、文档、实践标准和工序。
软件工程包括3个要素：方法、工具和过程。
软件工程过程是把软件转化为输出的一组彼此相关的资源和活动，包含4种基本活动：
（1）P——软件规格说明；
（2）D——软件开发；
（3）C——软件确认；
（4）A——软件演进。
软件周期：软件产品从提出、实现、使用维护到停止使用退役的过程。
软件生命周期三个阶段:软件定义、软件开发、运行维护，主要活动阶段是：
（1）可行性研究与计划制定；
（2）需求分析；
（3）软件设计；
（4）软件实现；
（5）软件测试；
（6）运行和维护。
软件工程的目标和与原则：
目标：在给定成本、进度的前提下，开发出具有有效性、可靠性、可理解性、可维护性、可重用性、可适应性、可移植性、可追踪性和可互操作性且满足用户需求的产品。
基本目标：付出较低的开发成本；达到要求的软件功能；取得较好的软件性能；开发软件易于移植；需要较低的费用；能按时完成开发，及时交付使用。
基本原则：抽象、信息隐蔽、模块化、局部化、确定性、一致性、完备性和可验证性。
软件工程的理论和技术性研究的内容主要包括：软件开发技术和软件工程管理。
软件开发技术包括：软件开发方法学、开发过程、开发工具和软件工程环境。
软件工程管理包括：软件管理学、软件工程经济学、软件心理学等内容。
软件管理学包括人员组织、进度安排、质量保证、配置管理、项目计划等。
软件工程原则包括抽象、信息隐蔽、模块化、局部化、确定性、一致性、完备性和可验证性。
3．2 结构化分析方法
结构化方法的核心和基础是结构化程序设计理论。
需求分析方法有（1）结构化需求分析方法； （2）面向对象的分析的方法。
从需求分析建立的模型的特性来分：静态分析和动态分析。
结构化分析方法的实质：着眼于数据流，自顶向下，逐层分解，建立系统的处理流程，以数据流图和数据字典为主要工具,建立系统的逻辑模型。
结构化分析的常用工具
（1）数据流图； （2）数据字典； （3）判定树； （4）判定表。
数据流图：描述数据处理过程的工具，是需求理解的逻辑模型的图形表示，它直接支持系统功能建模。
数据字典：对所有与系统相关的数据元素的一个有组织的列表，以及精确的、严格的定义，使得用户和系统分析员对于输入、输出、存储成分和中间计算结果有共同的理解。
判定树：从问题定义的文字描述中分清哪些是判定的条件，哪些是判定的结论，根据描述材料中的连接词找出判定条件之间的从属关系、并列关系、选择关系，根据它们构造判定树。
判定表：与判定树相似，当数据流图中的加工要依赖于多个逻辑条件的取值，即完成该加工的一组动作是由于某一组条件取值的组合而引发的，使用判定表描述比较适宜。
数据字典是结构化分析的核心。
软件需求规格说明书的特点：
（1）正确性；
（2）无岐义性；
（3）完整性；
（4）可验证性；
（5）一致性；
（6）可理解性；
（7）可追踪性。
3．3 结构化设计方法
软件设计的基本目标是用比较抽象概括的方式确定目标系统如何完成预定的任务，软件设计是确定系统的物理模型。
软件设计是开发阶段最重要的步骤，是将需求准确地转化为完整的软件产品或系统的唯一途径。
从技术观点来看，软件设计包括软件结构设计、数据设计、接口设计、过程设计。
结构设计：定义软件系统各主要部件之间的关系。
数据设计：将分析时创建的模型转化为数据结构的定义。
接口设计：描述软件内部、软件和协作系统之间以及软件与人之间如何通信。
过程设计：把系统结构部件转换成软件的过程描述。
从工程管理角度来看：概要设计和详细设计。
软件设计的一般过程：软件设计是一个迭代的过程；先进行高层次的结构设计；后进行低层次的过程设计；穿插进行数据设计和接口设计。
衡量软件模块独立性使用耦合性和内聚性两个定性的度量标准。
在程序结构中各模块的内聚性越强，则耦合性越弱。优秀软件应高内聚，低耦合。
软件概要设计的基本任务是：
（1）设计软件系统结构； （2）数据结构及数据库设计；
（3）编写概要设计文档； （4）概要设计文档评审。
模块用一个矩形表示，箭头表示模块间的调用关系。 
在结构图中还可以用带注释的箭头表示模块调用过程中来回传递的信息。还可用带实心圆的箭头表示传递的是控制信息，空心圆箭心表示传递的是数据。
结构图的基本形式：基本形式、顺序形式、重复形式、选择形式。
结构图有四种模块类型：传入模块、传出模块、变换模块和协调模块。
典型的数据流类型有两种：变换型和事务型。
变换型系统结构图由输入、中心变换、输出三部分组成。
事务型数据流的特点是：接受一项事务，根据事务处理的特点和性质，选择分派一个适当的处理单元，然后给出结果。
详细设计：是为软件结构图中的每一个模块确定实现算法和局部数据结构，用某种选定的表达工具表示算法和数据结构的细节。
常见的过程设计工具有：图形工具（程序流程图）、表格工具（判定表）、语言工具（PDL）。
3．4 软件测试
软件测试定义：使用人工或自动手段来运行或测定某个系统的过程，其目的在于检验它是否满足规定的需求或是弄清预期结果与实际结果之间的差别。
软件测试的目的：发现错误而执行程序的过程。
软件测试方法：静态测试和动态测试。
静态测试包括代码检查、静态结构分析、代码质量度量。不实际运行软件，主要通过人工进行。
动态测试：是基本计算机的测试，主要包括白盒测试方法和黑盒测试方法。
白盒测试：在程序内部进行，主要用于完成软件内部操作的验证。主要方法有逻辑覆盖、基本基路径测试。
黑盒测试：主要诊断功能不对或遗漏、界面错误、数据结构或外部数据库访问错误、性能错误、初始化和终止条件错，用于软件确认。主要方法有等价类划分法、边界值分析法、错误推测法、因果图等。
软件测试过程一般按4个步骤进行：单元测试、集成测试、验收测试（确认测试）和系统测试。
3．5 程序的调试
程序调试的任务是诊断和改正程序中的错误，主要在开发阶段进行。
程序调试的基本步骤：
（1）错误定位；
（2）修改设计和代码，以排除错误；
（3）进行回归测试，防止引进新的错误。
软件调试可分表静态调试和动态调试。静态调试主要是指通过人的思维来分析源程序代码和排错，是主要的设计手段，而动态调试是辅助静态调试。主要调试方法有：
（1）强行排错法；
（2）回溯法；
（3）原因排除法。
第四章 数据库4．1 数据库系统的基本概念
数据：实际上就是描述事物的符号记录。
数据的特点：有一定的结构，有型与值之分，如整型、实型、字符型等。而数据的值给出了符合定型的值，如整型值15。
数据库：是数据的集合，具有统一的结构形式并存放于统一的存储介质内，是多种应用数据的集成，并可被各个应用程序共享。
数据库存放数据是按数据所提供的数据模式存放的，具有集成与共享的特点。
数据库管理系统：一种系统软件，负责数据库中的数据组织、数据操纵、数据维护、控制及保护和数据服务等，是数据库的核心。
数据库管理系统功能：
（1）数据模式定义：即为数据库构建其数据框架；
（2）数据存取的物理构建：为数据模式的物理存取与构建提供有效的存取方法与手段；
（3）数据操纵：为用户使用数据库的数据提供方便，如查询、插入、修改、删除等以及简单的算术运算及统计；
（4）数据的完整性、安生性定义与检查；
（5）数据库的并发控制与故障恢复；
（6）数据的服务：如拷贝、转存、重组、性能监测、分析等。
为完成以上六个功能，数据库管理系统提供以下的数据语言：
（1）数据定义语言：负责数据的模式定义与数据的物理存取构建；
（2）数据操纵语言：负责数据的操纵，如查询与增、删、改等；
（3）数据控制语言：负责数据完整性、安全性的定义与检查以及并发控制、故障恢复等。
数据语言按其使用方式具有两种结构形式：交互式命令(又称自含型或自主型语言)宿主型语言（一般可嵌入某些宿主语言中）。
数据库管理员：对数据库进行规划、设计、维护、监视等的专业管理人员。
数据库系统：由数据库（数据）、数据库管理系统（软件）、数据库管理员（人员）、硬件平台（硬件）、软件平台（软件）五个部分构成的运行实体。
数据库应用系统：由数据库系统、应用软件及应用界面三者组成。
文件系统阶段：提供了简单的数据共享与数据管理能力，但是它无法提供完整的、统一的、管理和数据共享的能力。
层次数据库与网状数据库系统阶段 ：为统一与共享数据提供了有力支撑。
关系数据库系统阶段
数据库系统的基本特点：数据的集成性 、数据的高共享性与低冗余性 、数据独立性（物理独立性与逻辑独立性）、数据统一管理与控制。
数据库系统的三级模式：
（1）概念模式：数据库系统中全局数据逻辑结构的描述，全体用户公共数据视图；
（2）外模式：也称子模式与用户模式。是用户的数据视图，也就是用户所见到的数据模式；
（3）内模式：又称物理模式，它给出了数据库物理存储结构与物理存取方法。
数据库系统的两级映射：
（1）概念模式到内模式的映射；
（2）外模式到概念模式的映射。
4.2 数据模型
数据模型的概念：是数据特征的抽象，从抽象层次上描述了系统的静态特征、动态行为和约束条件，为数据库系统的信息表与操作提供一个抽象的框架。描述了数据结构、数据操作及数据约束。
E-R模型的基本概念
（1）实体：现实世界中的事物；
（2）属性：事物的特性；
（3）联系：现实世界中事物间的关系。实体集的关系有一对一、一对多、多对多的联系。
E-R模型三个基本概念之间的联接关系：实体是概念世界中的基本单位，属性有属性域，每个实体可取属性域内的值。一个实体的所有属性值叫元组。
E-R模型的图示法：（1）实体集表示法； （2）属性表法； （3）联系表示法。
层次模型的基本结构是树形结构，具有以下特点：
（1）每棵树有且仅有一个无双亲结点，称为根；
（2）树中除根外所有结点有且仅有一个双亲。
从图论上看，网状模型是一个不加任何条件限制的无向图。
关系模型采用二维表来表示，简称表，由表框架及表的元组组成。一个二维表就是一个关系。
在二维表中凡能唯一标识元组的最小属性称为键或码。从所有侯选健中选取一个作为用户使用的键称主键。表A中的某属性是某表B的键，则称该属性集为A的外键或外码。
关系中的数据约束：
（1）实体完整性约束：约束关系的主键中属性值不能为空值；
（2）参照完全性约束：是关系之间的基本约束；
（3）用户定义的完整性约束：它反映了具体应用中数据的语义要求。
4.3关系代数
关系数据库系统的特点之一是它建立在数据理论的基础之上，有很多数据理论可以表示关系模型的数据操作，其中最为著名的是关系代数与关系演算。
关系模型的基本运算：
（1）插入 （2）删除 (3)修改 （4）查询（包括投影、选择、笛卡尔积运算）
4.4 数据库设计与管理
数据库设计是数据应用的核心。
数据库设计的两种方法：
（1）面向数据：以信息需求为主，兼顾处理需求；
（2）面向过程：以处理需求为主，兼顾信息需求。
数据库的生命周期：需求分析阶段、概念设计阶段、逻辑设计阶段、物理设计阶段、编码阶段、测试阶段、运行阶段、进一步修改阶段。
需求分析常用结构析方法和面向对象的方法。结构化分析（简称SA）方法用自顶向下、逐层分解的方式分析系统。用数据流图表达数据和处理过程的关系。对数据库设计来讲，数据字典是进行详细的数据收集和数据分析所获得的主要结果。
数据字典是各类数据描述的集合，包括5个部分：数据项、数据结构、数据流（可以是数据项，也可以是数据结构）、数据存储、处理过程。
数据库概念设计的目的是分析数据内在语义关系。设计的方法有两种
（1）集中式模式设计法（适用于小型或并不复杂的单位或部门）；
（2）视图集成设计法。
设计方法：E-R模型与视图集成。
视图设计一般有三种设计次序：自顶向下、由底向上、由内向外。
视图集成的几种冲突：命名冲突、概念冲突、域冲突、约束冲突。
关系视图设计：关系视图的设计又称外模式设计。
关系视图的主要作用：
（1）提供数据逻辑独立性；
（2）能适应用户对数据的不同需求；
（3）有一定数据保密功能。
数据库的物理设计主要目标是对数据内部物理结构作调整并选择合理的存取路径，以提高数据库访问速度有效利用存储空间。一般RDBMS中留给用户参与物理设计的内容大致有索引设计、集成簇设计和分区设计。
数据库管理的内容：
（1）数据库的建立；
（2）数据库的调整；
（3）数据库的重组；
（4）数据库安全性与完整性控制；
（5）数据库的故障恢复；
（6）数据库监控。

二叉树是什么

二叉树 (binary tree) 是另一种树型结构，它的特点是每个结点至多只有二棵子 树 (即二叉树中不存在度大于 2的结点 )，并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒 . 二叉树是一种数据结构 :

Binary_tree=(D,R)

其中： D是具有相同特性的数据元素的集合 ;若 D等于空 ,则 R等于空称为空的二叉树 ;若 D等于空则 R是 D上某个二元关系 H的集合，即 R={H}，且 
(1) D 中存在唯一的称为根的元素 r，它的关系 H下无前驱 ; 
(2) 若 D-{r}不等于空，则 D-{r}={Dl,Dr}，且 Dl交 Dr等于空 ;
(3) 若 Dl不等于空 ,则在 Dl中存在唯一的元素 xl,〈 r,xl〉属于 H，且存在 Dl上的关系 Hl属于 H； 若 Dr不等于空 ,则在 Dr中存在唯一的元素 xr,〈 r,xr〉 >属于 H, 且存 Dr上的关 系 Hr属于 H； H={r,xl,＜ r,xr＞ ,Hl, Hr}; 
(4) (Dl, Hl) 是一棵合本定义的二叉树，称为根 r的左子树 ,(Dr,Hr)是一棵符合定义的二叉树，称为根的右子树。 

其中，图 6.2 是各种形态的二叉树 . 



(1) 为空二叉树 (2)只有一个根结点的二叉树 (3)右子树为空的二叉树 (4)左子树为空的二叉树 (5)完全二叉树 

二叉树的基本操作： 

(1)INITIATE(BT ） 初始化操作。置 BT为空树。 

(2)ROOT(BT)/ROOT(x) 求根函数。求二叉树 BT的根结点或求结点 x所在二叉树的根结点。
若 BT是空树或 x不在任何二叉树上，则函数值为 “空 ”。 

(3)PARENT(BT,x) 求双亲函数。求二叉树 BT中结点 x的双亲结点。若结点 x是二叉树 BT 的根结点
或二叉树 BT中无 x结点，则函数值为 “空 ”。 

(4)LCHILD(BT,x) 和 RCHILD(BT,x) 求孩子结点函数。分别求二叉树 BT中结点 x的左孩 子和右孩子结点。
若结点 x为叶子结点或不在二叉树 BT中，则函数值为 “空 ”。 

(5)LSIBLING(BT,x) 和 RSIBING(BT,x) 求兄弟函数。分别求二叉树 BT中结点 x的左兄弟和右兄弟结点。
若结点 x是根结点或不在 BT中或是其双亲的左 /右子树根 ,则函树值 为 “空 ”。 

(6)CRT_BT(x,LBT,RBT) 建树操作。生成一棵以结点 x为根，二叉树 LBT和 RBT分别为左， 右子树的二叉树。 

(7)INS_LCHILD(BT,y,x) 和 INS_RCHILD(BT,x) 插入子树操作。将以结点 x为根且右子树为空的二叉树
分别置为二叉树 BT中结点 y的左子树和右子树。若结点 y有左子树 /右子树，则插入后是结点 x的右子树。 

(8)DEL_LCHILD(BT,x) 和 DEL-RCHILD(BT,x) 删除子树操作。分别删除二叉树 BT中以结点 x为根的左子树或右子树。
若 x无左子树或右子树，则空操作。 

(9)TRAVERSE(BT) 遍历操作。按某个次序依此访问二叉树中各个结点，并使每个结点只被访问一次。 

(10)CLEAR(BT) 清除结构操作。将二叉树 BT置为空树。 

5.2.2 二叉树的存储结构

一 、顺序存储结构 
连续的存储单元存储二叉树的数据元素。例如图 6.4(b)的完全二叉树 , 可以向量 (一维数组 ) bt(1:6)作它的存储结构，将二叉树中编号为 i的结点的数据元素存放在分量 bt[i]中 ,如图 6.6(a) 所示。但这种顺序存储结构仅适合于完全二叉树 ,而一般二叉树也按这种形式来存储 ,这将造成存 贮浪费。如和图 6.4(c)的二叉树相应的存储结构图 6.6(b)所示，图中以 “0”表示不存在此结点 . 



二、 链式存储结构 
由二叉树的定义得知二叉树的结点由一个数据元素和分别指向左右子树的两个分支构成 ,则表 示二叉树的链表中的结点至少包含三个域 :数据域和左右指针域 ,如图 (b)所示。有时 ,为了便于找 到结点的双亲 ,则还可在结点结构中增加一个指向其双亲受的指针域，如图 6.7(c)所示。 



5.3 遍历二叉树 

遍历二叉树 (traversing binary tree)的问题， 即如何按某条搜索路径巡访树中每个结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。 其中常见的有三种情况：分别称之为先 (根 )序遍历，中 (根 )序遍历和后 (根 )序遍历。 

5.3.1 前序遍历

前序遍历运算：即先访问根结点，再前序遍历左子树，最后再前序遍历右子树。前序遍历运算访问二叉树各结点是以根、左、右的顺序进行访问的。例如： 



按前序遍历此二叉树的结果为： Hello!How are you? 

proc preorder(bt:bitreprtr) 
if (bt<>null)[ 
print(bt^); 
preorder(bt^.lchild); 
preorder(bt^.rchild);] 
end; 

5.3.2 中序遍历

中序遍历运算：即先中前序遍历左子树，然后再访问根结点，最后再中序遍历右子树。中序遍历运算访问二叉树各结点是以左、根、右的顺序进行访问的。例如： 



按中序遍历此二叉树的结果为： a*b-c 

proc inorder(bt:bitreprtr)
if (bt<>null)[ 
inorder(bt^.lchild); 
print(bt^); 
niorder(bt^.rchild);] 
end; 

5.3.3 后序遍历

后序遍历运算：即先后序遍历左子树，然后再后序遍历右子树，最后访问根结点。后序遍历运算访问二叉树各结点是以左、右、根的顺序进行访问的。例如： 



按后序遍历此二叉树的结果为： Welecome to use it! 

proc postorder(bt:bitreprtr) 
if (bt<>null)[ 
postorder(bt^.lchild); 
postorder(bt^.rchild);] 
print(bt^); 
end; 



五、例：
1.用顺序存储方式建立一棵有31个结点的满二叉树，并对其进行先序遍历。
2.用链表存储方式建立一棵如图三、4所示的二叉树，并对其进行先序遍历。
3.给出一组数据：R={10.18,3,8,12,2,7,3}，试编程序，先构造一棵二叉树，然后以中序遍历访问所得到的二叉树，并输出遍历结果。
4.给出八枚金币a,b,c,d,e,f,g,h，编程以称最少的次数，判定它们蹭是否有假币，如果有，请找出这枚假币，并判定这枚假币是重了还是轻了。