PKU 1055 The Last Non-zero Digit

          The Last Non-zero Digit

 

题目大意：

给N，M（ N (0 <= N<= 20000000), M (0 <= M <= N)），求 NPM最后一位不是零的数。，即求n!/(n-m)! 最后一位不是0 的数字。

解题分析：

N (0 <= N<= 20000000), M (0 <= M <= N)，N，M的范围都很大，直接求出来的可能是不现实的。所以要找一个比较好的算法解决这个问题。

1.先把范围缩小。怎样求出n!的最后一个不是0的数呢？

先举个简单的例子，分析一下规律。

比如说要求10!的最后一个不是0的数。10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10。.由于质数为2和5的数相乘后尾数会为0，所以我们可以除去质因数2和5数。

1*2*3*4*5*6*7*8*9*10，去掉质因数为2和5的结果为：1*1*3*1*1*3*7*1*9*1，去除了质因数剩下的数字就只用1、3、7、9了。不为零的尾数就应该是这些数字相乘取它们的个位数，还要加上2、5的影响。因为2*5=10，成对的2、5不影响最后一个不是0 的尾数。那就得看剩余几个2或5，又由于2的个数一定比5多，所以最后只要考虑剩余的2对尾数的影响。

综上：最后一个不是0的尾数就是：1、3、7、9相乘的结果在乘以 （与5成对后剩余的2的个数）

总结一下，求10!最后一个非0位的步骤如下：
step1：首先将10!中所有2，5因子去掉；
step2：然后求出剩下的一串数字相乘后末尾的那个数。
step3：由于去掉的2比5多，最后还要考虑多余的那部分2对结果的影响。
step4：得出结果。

      那么现在的问题就是怎样求出尾数2、5和3,7,9的个数了。

求分解为质数后2的个数

 int get2(int n)

{

  if(n==0) return 0;

  return n/2+get2(n/2);

}

求尾数5的个数

int get5(int n)

{

  if(n==0) return 0;

  return n/5+get5(n/5);

}

那是不是3,7,9也是这样求呢？再来分析一下：

以1*2*3*4*5*6*7*8*9*10为例，根据奇偶性可以分成偶数列和奇数列

即分成：1,3,5,7,9   2,4,6,8,10

可以发现，实际上2，4，6，8，10中的个数也就是1 2 3 4 5中的个数.

f(n) = f(n/2) + g(n),g(n)表示奇数列中的数目，所以我们需要解决g(n) .

而奇数：1 3 5 7 9 11 13 15 17。。。又可以分为尾数为1 3 7 9的数和尾数为5的数。

所以g(n,x)=n/10+(n%10>=x)+g(n/5,x)

 

在求3，7 ，9的各自相乘尾数是还有一个技巧那就是 它们的尾数都是循环的。

如3， =1   =3  =9  =27  =81 。。。尾数为：（1 3 9 7） 的循环。

#include <iostream>#include <string>using namespace std;int get2(int n){ if(n==0) return 0; return n/2+get2(n/2);}int get5(int n){ if(n==0) return 0; return n/5+get5(n/5);}int get(int n,int x)//计算f(1) to f(n) 中，奇数数列中末尾为x的数出现的次数{ if(n ==0)return 0; return n/10+(n%10>=x)+get(n/5,x);}int getx(int n,int x)//计算f(1) to f(n)中，末尾为x(3,7,9)的数的出现次数{if(n==0)return 0; return getx(n/2,x)+get(n,x);}int main(){freopen("input.txt","r",stdin);int num[10];int res2[]={6,2,4,8};//2^n%10的循环节，注意如果2的个数为0时候，结果应该是1，要特殊处理。int res3[]={1,3,9,7};int res7[]={1,7,9,3};int res9[]={1,9,1,9};//3，7，9的循环节中第一位，刚好是1，故不需要考虑这些数字出现次数为0的情况。int N,M;while(cin>>N>>M){ int r2,r=1; memset(num,0,sizeof(num)); num[2] = get2(N)- get2(N-M); num[5] = get5(N)- get5(N-M); num[3] = getx(N,3) - getx(N-M,3); num[7] = getx(N,7) - getx(N-M,7); num[9] = getx(N,9) - getx(N-M,9); r2 = num[2]-num[5]; if(r2==0) r=1; else r = r* res2[r2%4]; r=r%10; r = r *res3[num[3]%4]; r=r%10; r = r * res7[num[7]%4]; r=r%10; r = r * res9[num[9]%4]; r=r%10; cout<<r<<endl;} return 0;}