POJ 1150-The Last Non-zero Digit

题意：

求排列数n，m的最后一个非零数字。

下面是超时程序：

#include<iostream>#include<cstring>#include<string>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;int fun(int a, int b, int c) //a的b次方对c取模{if(b == 0) return 1;if(b == 1) return a % c;long long tmp = fun(a, b / 2, c);return (((tmp * tmp % c) * (b & 1 ? a : 1)) % c) % c;}int get2(int n) //n的阶乘中2的个数{int count = 0;while(n /= 2)count += n;return count;}int get5(int n) //n的阶乘中5的个数{int count = 0;while(n /= 5)count += n;return count;}int main(){//freopen("Input.txt", "r", stdin);int n, m, sum2, sum5, res, sum;while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF){sum2 = get2(n) - get2(n - m);sum5 = get5(n) - get5(n - m);res = (sum2 >= sum5 ? sum2 - sum5 : sum5 - sum2); //2的个数和5的个数的差值sum = 1;for(int i = n; i >= n - m + 1; --i){sum *= i;while(sum % 2 == 0) sum /= 2;while(sum % 5 == 0) sum /= 5;sum %= 10;}if(sum2 >= sum5) //加上2或5对结果的影响sum *= fun(2, res, 10);elsesum *= fun(5, res, 10);printf("%d\n", sum % 10);}return 0;}

看过之后才明白有规律，优化后代码：

/*如何求出n!阶乘最后非0位？比如说我们要找10!最后非0位，由于质因数2和5组合之后会使得末尾产生0.那么我们不妨把10！中2，5质因数全部去掉，（但是请注意2的数目其实比5的要多，所以我们要在最后考虑多余的2对末位的影响）如 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 去掉2 ，5 因子后 就是1*1*3*1*1*3*7*1*9*1，由于2，5因子已经被去除，那么剩下的数字末尾一定是3，7，9，1中四者之一。然后我们再求出这么一串数相乘以后末尾的数是几.最后再补上2对末位的影响即可！总结一下，求10!最后一个非0位的步骤如下：step1：首先将10!中所有2，5因子去掉；step2：然后求出剩下的一串数字相乘后末尾的那个数。step3：由于去掉的2比5多，最后还要考虑多余的那部分2对结果的影响。step4：output your answer!正如上面文章里所说的“To compute the number of 3,7,9 among (f(1) mod 10), (f(2) mod 10), ..., (f(N) mod 10) is not so easy”，这里面步骤2是个难点。如何求出剩下的这串数字相乘后最后一位是几呢？这可以转化成求出这些数里面末尾是3，7，9的数字出现的次数（为啥？因为这些数的n次方是有规律的，周期为4，不信你可以推一下）好，现在问题就是如何求出这串数字中末尾3，7，9各自出现的次数了；一个数列实际上可以分成偶数列和奇数列，以1*2*3*4*5*6*7*8*9*10为例分成1 3 5 7 9,   2 4 6 8 10这样我们尝试分别进行统计，可以发现，实际上2，4，6，8，10中的个数也就是1 2 3 4 5中的个数，也就是说我们又把这个问题划分成了一个原来问题的子问题。f(n) = f(n/2) + g(n),g(n)表示奇数列中的数目，所以我们需要解决g(n)再次观察g(n)实际上又分成了两部分1 3 7 9 11 13 17 19 21。。。以及5的奇倍数5，15，25。。。说明又出现了子问题,如果要统计这个数列中末尾为x（1，3，7，9）的个数可以这样写：g(n,x) = n/10+(n%10 >= x)+g(n/5,x)  这样利用了两个递归方程，我们就可以在lgn的时间内计算出末尾为1,3,7,9的数的个数了好了，现在我们得到了这串数字中末尾是3，7，9的数字的个数，我们利用循环节的性质可以快速地算出这串数字相乘后mod 10的结果，在考虑下当时多除的2(其实也可以用循环节来处理），便可求出答案！解决了上面两个子问题，我想求P(n,m)最后一个非0位就变得十分容易了。P(n,m)实际上等于 n! / (n-m)!我们可以求出n! 和(n-m)!中质因数2，5，3，7，9分别出现的次数，然后再各自相减。然后再用循环节处理，即可！BTW，这里还要注意一个trick,就是2的出现次数如果小于5，（这对于排列数来说是可能的）我们可以直接输出5，如果2的数目等于5，那么2的循环节不需要考虑。至于3，7，9的循环节，由于这些数的4次方末位刚好是1，所以就不需要特殊考虑了。*/#include<cstdio>int getx(int n,int x){    if(n==0)  return 0;    return n/x+getx(n/x,x);}int g(int n,int x){    if(n==0)  return 0;    return n/10+(n%10>=x)+g(n/5,x);}int get(int n,int x){    if(n==0)  return 0;    return get(n/2,x)+g(n,x);}int table[4][4] ={    6,2,4,8,//2    ^n%10的循环节，注意如果2的个数为0时候，结果应该是1，要特殊处理。    1,3,9,7,//3    1,7,9,3,//7    1,9,1,9,//9};//3，7，9的循环节中第一位，刚好是1，故不需要考虑这些数字出现次数为0的情况。int main(){    int n,m;    int num2,num3,num5,num7,num9;    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)//n!/(n-m)!的右边第一个非0位    {        num2=getx(n,2)-getx(n-m,2);        num3=get(n,3)-get(n-m,3);        num5=getx(n,5)-getx(n-m,5);        num7=get(n,7)-get(n-m,7);        num9=get(n,9)-get(n-m,9);        int res=1;        if(num5>num2)        {            printf("5/n");            continue;        }        else        {            if(num2!=num5)            {                res*=table[0][(num2-num5)%4];                res=res%10;            }            res*=table[1][num3%4];            res%=10;            res*=table[2][num7%4];            res%=10;            res*=table[3][num9%4];            res%=10;        }        printf("%d\n",res);    }    return 0;}