一个极限题和处理生活

题目：证明数列{Xn=(-1)ⁿ}发散。

分析：到目前复习为止，还没有直接证明发散的方法，只能从定义出发，但是定义又是基于有一个确切数值作为极限才好利用不等式|Xn-a|<ε(ε为任意正数)。既然这样，那我们就要将其向有极限上转化，然后在有极限时得出结论，然后再将此结论移植到原问题中，那就差不多解决了。

我们发现，有极限和发散是完全对立的，那么我们只能通过反证法实现转化了。

证：假设{Xn}收敛，则其极限必唯一。

        对所有的ε>0,|(-1)ⁿ|………………………

卡住了，做不下去了。我的想法是利用P₂₈的定理1——极限的唯一性，即想在假设{Xn}收敛的情况下，找出两个极限——和-1.但实际上，我并不能证明出这两个是极限，因为n是取任何值，不能仅限于奇或偶，而且此处还隐藏一点：那就是如果我能证明出{Xn}有一个确切的极限值，那么显然{Xn}收敛，这显然是不可能的。这从根本上将我想法否定了，那么我只能换一个思路了。

 

但是可悲的是，在发现我的第一个思路我自己很能难解决后，我并没有如上分析的那样能知道我的思路是错的，而是感觉书上应该会解决的更好，一看书，才发现和我不是一个思路，然后才做了如上分析。

启：遇到问题时，利用已有的知识去分析，找思路，如果找到了一个思路后，将立即沿着它深究下去。如果，能解决了问题，那当然最好；如果卡住了，做不下去了，要仔细分析：是思路错了还是我的技巧不够，即要清楚的知道自己到底是哪个地方有问题才导致无法解决这个问题，如果是思路彻底走错了，那就在继续分析问题，找出另一个思路；如果是技巧不够，则可以查资料或请教人。注意：在做题卡住时，要把大脑集中在为问提上，要想怎么去解决，而不是想：啊，这题我不会啊，看答案吧或直接找高人帮忙吧！如果是这样想，你永远也不会进步。

因为解决问题不是目的，而是在解决问题的过程中如何去培养自己的分析能力、发现问题的能力、拆分问题变成小问题能力，这才是根本。

 

其实，生活中也是如此。我们总是会遇到各种各样的问题，那我们该怎么面对呢？很简单，如解决数学题一样，一层一层去分析、去缩小、去转化问题，要自己动脑去解决而不是一味的依赖别人。

 

书呆子就是这么形成的：他们学习书本上的知识，就一个方法：背。背书上的公式，然后代入题中，对于代公式也做不出来，则会将题背下来。记不住的题目，就不会了，这就是为什么书呆子考不到顶尖的分数的原因。他们不去分析问题，最后脑子当然没有思考能力，变得呆头呆脑的。

 

好了，乱想结束。继续做题、分析。

既然无法找到一个确切的极限值，那就假定一个未知数作为极限，然后利用极限的定义导出矛盾。

令 Xn→a，则对所有的ε>0,定存在正整数N，当n>N，有|Xn-a|<ε.

这样便有：a-ε<Xn<a+ε。

我们发现(-1)ⁿ的值域是两个值：1和-1，那么我们只要a-ε、a+ε在-1和1之间，不就能得出矛盾了嘛！但这里便有一个问题：a我们是不知道的，无法将其与1、-1比较！此路不通，必须得换一个思路。我们想：既然无法将1和-1同时排除在外，那么我们可不可以排除一个啊？事实是当然可以的，这样条件应该会弱化点。因为我们不能拿区间直接比较来判断1和-1是不是在这个区间里，但是我们可以通过长度来大致判断一下。我们发现要想1和-1在同一区间里，那么区间长度至少为2才行。好了，问题转化到区间长度大小的比较上了，我们发现虽然a是未知的，但它和区间长度没关系，因为区间长度为2ε，而ε可以任意值，我们可以将其作为已知的一个值。现在基本上上解决了，只要让ε小于1就可以了，这样区间长度小于2，是不可能将1和-1同时包含在内的。