"1"的个数，算法研究(一)

一．问题描述：
给定一个十进制正整数N，计算从1开始，到N中所有整数中出现"1"的个数
例如：
设total为包含的"1"的个数
N=3时，total=1;
N=13时，total=6；
N=123时，total=57；
...................
...................
解法一：一般方法
最简单的方法是直接从1开始遍历到N，算出其中每一个数种含有的1的个数，然后将它们全部加起来得到最终答案。
源程序如下：
#include<stdio.h>
int CountNumber(unsigned int n)
{
int num=0;
while(n>=10) //每次分离出个位数，将它与1比较
{
if(n%10==1)
{
num++;
}
n=n/10;
}
if(n==1) num++;
}

int main()
{
unsigned int n;
int i,total=0;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
total=total+CountNumber(i);
}
printf("%d/n",total);
return 0;
}
分析：时间复杂度=O(N)x计算一个整数数字里面"1"的个数的复杂度=O(N*log2N)，如果给定Ｎ特别大的话，效率就非常低了。
解法二
设n(个),n(十),n(百)分别表示个位数上，十位数上，百位数上可能出现的"1"的个数。ni(个),ni(十),ni(百)分别表示在个位数，十位数上百位数上的数字的大小。
通过猜想假设可以总结出如下规律：
对个位上的数：
当ni(个)=0时，n(个)=去掉个位数余下的数字组成的数的大小
如：当N=120时，n(个)=12;
当ni(个)=1时，n(个)=去掉个位数余下的数字组成的数的大小+1;
如：当N=121时，n(个)=12+1;
当ni(个)>1时，n(个)=去掉个位数余下的数字组成的数的大小+1;
如：当N=123时，n(个)=12+1;
对十位上的数：
当ni(十)=0时，n(十)=去掉十位数上的数字更高位形成的数的x10
如：当N=103时，n(十)=1x10=10;
当ni(十)=1时，n(十)=(去掉十位数上的数字更高位形成的数)x10+(地位所成数字+1)
如：当N=213时，n(十)=2x10+(3+1)=24;
当ni(十)>1时，n(十)=(去掉十位数后更高位形成的数+1)x10
如：当N=223时，n(十)=(2+1)x10=30;
对百位上的数：
当ni(百)=0时，n(百)=去掉百位数上的数字更高位形成的数的x100
如：当N=1023时，n(百)=1x100=100
当ni(百=1时，n(百)=(高位形成的数)x100+(低位所成数字+1)
如：当N=2123时，n(百)=2x100+(23+1)=224；
当ni(百)>1时，n(百)=(去掉百位数后更高位形成的数+1)x100
如：当N=1234时，n(百)=1+1)x100=200;

千位上或者更高位也有类似的规律。
分析后可以得到以下高效率的算法
源程序：
#include<stdio.h>
int main()
{
unsigned int n;
int total=0;
scanf("%d",&n);
int m=n;
int i=10;
while(m!=0) // 分别算出个位数，十位数，百位数.....的1的个数
{
switch(m%10)
{
case 0:
total=total+n/i;
break;
case 1:
total=total+n/i*(i/10)+n%(i/10)+1;
break;
default:
total=total+(n/i+1)*i/10;
}
i=10*i;
m=m/10;
}
printf("%d/n",total);
}
分析：输入长度问哦Len的数字N的时间复杂度为O(Len),即为O(ln(n)/ln(10)+1)，
经测试，计算N=1000 000 000时，速度至少比第一种方法快40 000倍