hnoi 2009 通往城堡之路

这道题并不是我想出来的。。是看了网上一个程序然后自己yy出这个程序是干什么的。。

先放原地址:http://yuyuyusachs.blogbus.com/logs/61039360.html

这里再放我的代码，其实和他的差不多，只是这样方便看下文

var i,j,k,n,s,max,m:longint; min,ch,d,ans:int64; a,b:array[0..5001] of int64;begin assign(input,'input.txt');reset(input); assign(output,'output.txt');rewrite(output); readln(m); while m>0 do begin dec(m); read(n,d); for i:=1 to n do read(a[i]); if abs(a[n]-a[1])>d*(n-1) then begin writeln('impossible'); continue;end; b[1]:=a[1]; for i:=2 to n do b[i]:=b[i-1]-d; repeat min:=maxlongint;max:=-min; k:=-1;s:=0; for i:=n downto 2 do begin if a[i]<=b[i] then dec(s) else begin inc(s); if a[i]-b[i]<min then min:=a[i]-b[i];end; if (s>max)and(b[i]<b[i-1]+d) then begin max:=s;k:=i;ch:=min;end;end; if b[k-1]+d<b[k]+ch then ch:=b[k-1]+d-b[k]; for i:=k to n do inc(b[i],ch); until a[n]=b[n]; ans:=0; for i:=1 to n do inc(ans,abs(a[i]-b[i])); writeln(ans);end; close(input);close(output);end.

然后大家看完了那篇文章之后如果没懂（反正我当时是没懂）可以看下面我写的。。

这个程序首先对于原来的序列求出一个解的下限，然后不断的调整，直到得出可行解，

首先，初始解是一个不断下降的序列，而且每次下降的幅度都取到极限（也就是题目中的d值）。

（注意，在初始解中，最后一个点的高度也是被改变了的。）那么，我们可以很容易的证明，对于一个可行解，每一个点的高度对于初始解都是不下降的，因为只有这样才能是它符合题意，同时我们需要把可行解的最后一项调整为原来的数才行。

首先，说明一下调整的规则。因为最终答案对于初始解一定是不下降的，所以我们的规则如果合理，可以使调整方向只向上不向下。

每次调整，我们都只从一个数开始到最后一个数都向上调同样的高度，因为这样可以保证我调整后使费用减小的前提下序列依然符合要求，即相邻两个数的差小于等于d。

接着解释一下s的作用。s表示的时从当前这个数到最后一个数中（当前解小于原数的个数)-（当前解大于原数的个数）。因为我们调整时是将这一段序列都往上调，所以一个数比原解小，则对于它的调整会使改变量减少，即费用降低；否则，会使改变量增大，即费用升高。

我们在调整过程中，必须时刻保证相邻的两数相差不大于d，所以要特别的处理一些情况（详见程序）。而且，在一次调整时，我们必须保证本来低于原数的当前解不能超过原数，因为若一次改变中解从低于原数变为了高于原数，那么它对于费用的改变量就不再是单调的了，所以我们每次的改变值不能超过min（原数-当前解）【注意，这里仅计算当前解小于原数的那些数】，然后，当我们把最后一个数的解调整成了当前解，那么就得出了答案。

现在，还存在一个问题，就是得出的答案是否一定为最优解。

那么，我们只需要要证明以下结论就可以了：

1.使序列中的一段区间上升，不会使费用更小；

2.使序列中的一段区间下降，不会使费用更小。

首先证明第一个结论:

对于一段区间，若它不上调只有两个可能：

1.这段区间内的s值不为正数，那么上调不会使解更优；

2.这段区间随一直到末尾的区间上调，但最后一个解已到达原数，不能再上调。那么，若是这一段区间继续上调，则会使此区间最后一个数与下一个数的差值大于d，因为在初始解中的差值是达到极限d的，切这段区间一直随末尾上调，那么它们直接的差并未减小，所以继续上调此区间必定会是差值增大，不符合条件。

综上所述，上调一段区间不会在符合题意的条件下使费用减小。

然后证第二个结论：

若可以使一个区间下调，那么它已经经过一段上调，因为初始解是保证不能下调的下限解。若这段区间下调，则可以看作原调整过程中的一个逆过程，那么使它下调不可能是费用减小，因为这不符合原算法的规则。所以，下调一段区间也不会在符合题意的条件下使费用减小。

证毕。

通过证明，我们可以知道，得到的解即为最优解，这个算法是正确的。

通过分析，每次调整会使最少一个数达到上界，所以算法复杂度不超过O（n^2）。

这个问题得到了解决（虽然其实不是我解决的）。