矩阵的乘法是函数的合成

矩阵乘法是由Arthur Cayley在约1855年发明的，他在剑桥三一学院学习文学，却对数学产生了强烈的兴趣。毕业后从事了14年法律工作，但业余时间主要用来研究数学，在这期间发表了300多篇数学论文，对矩阵理论作出了巨大的贡献。

那么矩阵乘法是怎么定义来的呢？

考虑f，g是定义域为n维向量，值域也是n维向量的线性函数。(线性函数是指满足等式f(aX+Y)=af(X)+f(Y)的函数f)。下面考虑2维的情况。

比如f(X)是这样一个函数：

g(X)是这样一个函数：

考虑两个函数的合成h(X) = f(g(X))，即

将f，g，h的系数抽取出来，写成矩阵的样子，就是

矩阵H就是矩阵F和G的乘积，即

所以矩阵乘法是由函数的合成来的。意思就是如果把矩阵看作向量到向量的映射，矩阵的乘法就是先做一个矩阵定义的映射，对映射的结果再做另一个矩阵定义的映射。这也是矩阵乘法不满足交换律的原因。如果用实数乘法去理解它就会想不通。