粒子滤波小结

今天就来说说我看懂了的粒子滤波(Particle Filter)部分。

我为啥要在看粒子滤波之前拼命学卡尔曼？因为，粒子滤波和Kalman的模型是一样的。无论是线性还是非线性，它俩的模型都是那个：

z_t=h(x_t, v_t);

x_t=f(x_(t-1),w_t);

虽然粒子滤波中，不太常提这个表达形式，因为大家都默认你懂了Kalman。因此，粒子滤波的关键不在这个模型，而在于一个假设：

P(x_t| z_t)不再是高斯分布了！

前面已经反复强调过，在Kalman下，状态的后验概率是一个高斯分布，也就是一个单峰概率分布。这种模型最大的问题是：无法处理非高斯模型。形象一些说，如果你发烧了，那你既有可能是嗓子发炎了，也有可能是身体其他部分发炎了，甚至有可能产生肿瘤了。那对于发烧这个现象的原因的条件概率，就会有多个峰值。但如果使用Kalman，则假设了高斯分布，自然无法正确表示这个模型。

那么Particle Filter是怎么搞的呢？它的关键核心在于，他用一堆状态例子来表示这个不知道该怎么解析表示的后验概率。

其实这件事情也好理解，对于一个概率分布y=p(x)而言，你取一些x，让x对应它的概率值p(x)，写成点对就是(x,p(x))。那我问，x=x0时，p(x)是多少啊？ 你自然回答p(x0)... 看似很傻的，其实PF就是这意思。

那本来能取到的值就是有限个，那对于没能取到的x0，如何找到对应的p(x0)呢？一般大家给出的答案是p(x0)=1/n sigma[w_i*diracdelta(x_i-x0)] ，其中(x_i,w_i)就是我们取的点对，那个diracdelta就是冲击函数。 话说，我个人以为，其实用非参估计一下就能模拟任何一点的概率。

好吧，其实上面那个任何一点概率的公式也是瞎扯淡，没啥用。为啥？因为没人关心。 在做预测的时候，如果你想知道当前观测值下，最有可能的状态是啥，你当然需要找到p(x0)的最大值，但，问题是，谁能用离散的方法遍历一遍状态空间，再找到最大值呢？太特么慢了。 所以，一般的做法，就是选择取到的点里面w_i最大的的那个x_i作为预测状态。

但通常情况没有我么想的这么简单。最恶心的情况是，我们无法直接得到P(x_t|z_t)。那么该怎么解决这个问题呢？

于是引入一种叫做importance sampling重要性采样的概念。这个概念是要求解不知道概率分布的E(x_t)，那么它的逻辑在于，另外给一个变量L，它的概率好求，并且已知E(L)=1。那么，鉴于两者是独立的E(x_t/L)=E(x_t)/E(L)=E(x_t)，可是这个时候，我们就可以依据L的分布，求x_t/L这个变量的期望了。【这里需要注明，我的理解很有可能是错的】

至于这个函数到底怎么写出，我也不知道，我还没能写出一个来。再多的细节，我还没能理解，简单的情形就是，有的人用其他的概率来代替这个后验概率。 于是，我们就可以得到某一个粒子群(x_i, w_i)，其中w_i不是后验概率，而是某个相关概率。例如状态和测量值的关系等等。

这套框架建立起来后，就剩下更新一类的细节了。

首先，每个粒子在下一时刻开始的时候，都需要自己被预测一下，就是利用最初的那个模型，x_i_(t+1) = f(x_i_t, w_t); 于是，原来Kalman的一步，现在成了n步，每一个粒子都是一个Kalman。

给定观测值z_t后，就需要更新一下每个点的权值，w_(i+1) = w_i * f(神马玩意的)。这里有个东西，就是w_i也是迭代更新的，啊啊啊，具体证明我还得看看。 然后再把w_(i+1) normalize（归一化）一下。

那正经的预测真值是神马那？对的，就是后验概率的期望。（记得原来Kalman直接求了一个值，可那个值恰好是期望啊）。也就是：

x^_(t+1) = sigma[w_(i+1)*x_i_(t+1)]

整个框架到此就结束了。

然则，

这个方法存在了一些新问题。在不断更新的过程中，不靠谱儿的粒子的权值会越来越小，最后忽略不计，只有个别几个粒子权值超大，于是就稳定在了某一个区域内。这就是传说中的退化。

解决这个问题，就提出了resampling，重采样。其实，重采样也不难理解。传说中的monte carlo(蒙特卡洛)算法管用了。通常，我们的随机数都是均匀分布取出来的。要是想得到非均匀分布的采样，如何利用均匀分布呢？就是把非均匀分布的点，按照概率的大小重复复制，让每个点的概率一样。例如某个离散分布(1,0.3), (2,0.5),(3,0.2)，那么想要依照此概率采样，就把这个分布伸展成一个数列(1,1,1,2,2,2,2,2,3,3)，这样再均匀采样的时候，得到的就是上述离散分布的采样。 于是，对于我们原来的问题，只要求出累计概率分布，或者干脆也用上述办法，把每个粒子按照它的权值展开成数组，再均匀取样就好了。

再然后，可能出现的问题是，重采样过后，很多粒子会一模一样，他们再用模型预测下一步时也会一模一样，不解决问题啊。有人就提出diffuse，就是再给他们加一个随机量，在附近分散一下粒子。

这就是目前粒子滤波的问题以及解决办法。