hdu3400_嵌套三分

 

题目大意：

给出两条平行的线段AB， CD，然后一个人在线段AB的A点出发，走向D点，其中，人在线段AB上的速度为P， 在线段CD上的速度为Q，在其他地方的速度为R，求人从A点到D点的最短时间。

 

-------------------------------------------------------------------------------------

解题思路：

一开始看到这个题，就知道是数学题，但是没有找到合适的数学模型。。后来看了大牛的解题报告，提到了三分，才突然想到，这个题应该是化为函数，求函数的极值。由于之前没听过三分，所以花了一晚的时间研究了一下三分。。做了几个简单题垫垫底，这个题终于一A了~痛快~~(*^__^*) 嘻嘻……

 

额。。。。跑题了。。

 

说说这个题怎么做...

如上图所示，红线部分为人走的路径。人所用的时间为 T = X / P + Y / Q + Z / R。

然后我们做一个变形，令人在线段AB上花的时间为：F(X) = X / P ，假设X是一个确定值的前提下，人走完Z和Y所花的时间为：G(Y) = Z / R + Y / Q。当X 和Y都确定的情况下，Z也是一个确定值。所以，所求的函数可以写成： T（X，Y) = F(X) + G(Y)。因为T是一个关于X和Y的函数，而G只是一个关于Y的函数，所以，可以用两层嵌套的三分法解这个方程。首先以X为变量，对T进行三分。在求G的值的时候，以Y为变量，对G进行三分，求出G在对应的X下的最小值。这样就能求出T的最小值了。

如何证明这个题能够用三分解？

首先，F(X)函数是一个单调递增的函数，而G(Y)很明显是一个先递减后递增的函数。两个函数叠加，所得的T（X,Y）函数应该也是一个先递减后递增的函数。故可用三分法解之。

 

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;struct point{double x,y;};const double eps=1e-4;double p,q,r;double dis(point a,point b){return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));}double cal_ab(point a,point b,point m){point left=a,right=b;point mid,midmid;double ans1,ans2;do{mid.x=(left.x+right.x)/2.0;mid.y=(left.y+right.y)/2.0;midmid.x=(left.x+mid.x)/2.0;midmid.y=(left.y+mid.y)/2.0;ans1=dis(mid,a)/p+dis(mid,m)/r;ans2=dis(midmid,a)/p+dis(midmid,m)/r;if(ans1<ans2)left=midmid;elseright=mid;}while(fabs(ans1-ans2)>eps);return ans1;}double cal_abcd(point a,point b,point c,point d){point left=c,right=d;point m,mm;double ans1,ans2;do{m.x=(left.x+right.x)/2.0;m.y=(left.y+right.y)/2.0;mm.x=(left.x+m.x)/2.0;mm.y=(left.y+m.y)/2.0;ans1=dis(m,d)/q+cal_ab(a,b,m);ans2=dis(mm,d)/q+cal_ab(a,b,mm);if(ans1<ans2)left=mm; //做三分题时的一句口诀:小(left)对小,大(right)对大elseright=m;}while(fabs(ans1-ans2)>eps);return ans1;}int main(){int t;point a,b,c,d;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&a.x,&a.y,&b.x,&b.y,&c.x,&c.y,&d.x,&d.y);scanf("%lf%lf%lf",&p,&q,&r);printf("%.2lf/n",cal_abcd(a,b,c,d));}return 0;}