将m个苹果放入n个盘子的问题

问题１：

m----->相同， n---> 相同,可为空

将m个苹果放进n个盘子中，盘子允许空，有多少种方法。同时注意例如1、2和2、1这两种方案是一种方案。

 

思路：

其实这跟将一个整数m分成n个整数之和是类似的，

设f[m][n]为将m分成最多n份的方案数，且其中的方案不重复，每个方案前一个份的值一定不会比后面的大。

则有：f[m][n] = f[m][n - 1] + f[m - n][n];  
       　 = 1 // m== 0 || n == 1     
　　     = 0 // m < 0

 

f[m][n - 1]相当于第一盘子中为0，只用将数分成n - 1份即可。
因为0不会大于任何数，相当于f[m][n - 1]中的方案前面加一个为0的盘子，
而且不违背f的定义。所以f[m][n - 1]一定是f[m][n]的方案的一部分，即含有0的方案数。
f[m - n][n]相当于在每个盘子中加一个数1。因为每个盘子中加一个数1不会影响f[m][n - 1]中的方案的可行性，也不会影响f的定义。
所以f[m - n][n]一定是f[m][n]的方案的一部分，即不含有0的方案数。

 

 

问题2:

问题描述：将整数N分成K个整数的和 且每个数大于等于A  
小于等于B 求有多少种分法

 

int Dynamics(int n, int k, int min) //将n分为k个整数 最小的大于等于min,最大不超过B { if(n < min) return 0;//当剩下的 比min小,则不符合要求 返回0 if(k == 1) return 1; int sum = 0; for(int t = min; t <= B; t++) { sum += Dynamics(n-t, k-1, t); } return sum;}

 

 

问题3：

m----->相同， n---> 相同,不能为空

将m个苹果放进n个盘子中，有多少种方法。同时注意例如1、2和2、1这两种方案是一种方案。

 

思路：

先把每个都放一个苹果，这样问题就转化为：m-n个苹果放进n个盘子里，盘子允许空，即问题１

 

 

问题4：

第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是包含n个元素的集合分作k个环排列的方法数目。

递推公式为，
S(n,0) = 0, S(1,1) = 1.
S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1)S(n-1,k)。

 

n个元素的集合分作k个环排列的方法是s(n,k)，那么

1.可由前n-1个元素k-1个环的s(n-1,k-1); 即最后一个元素为单环，前n-1个构成k-1环；

2.第n个元素一定不是单环，可以由n-1个元素k个环，把第n个数任意的放入一个环中组成新环！即得到n个

元素的集合分作k个环，假设n个元素的集合分作k个环，那么由于n,不在单环中，那么可以把n所在的环中把n

剔除，即得到了n-1个元素，k个环，即充分与必要性都得证！

因而：S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1)S(n-1,k)。得证！

 

问题5：

第二类Stirling数是把包含n个元素的集合划分为正好k个非空子集的方法的数目。
//n－>有区别，K－>非空,没区别
递推公式为，
S(n,n) = S(n,1) = 1,
S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).

上面的递推式可以用组合证明：
一方面，如果将第n个元素单独拿出来划分成1个集合，那么方法数是S(n-1,k-1)；
另一方面，如果第n个元素所在的集合不止一个元素，那么可以先将剩下的n-1个元素划分好了以后再选一个集合把第n个元素放进去，方法数是k*S(n-1,k)；
有加法原理得证

 

问题6：

Bell数和Stirling数

B(n)是包含n个元素的集合的划分方法的数目。

集合的划分：非空，

B(0) = 1, B(1) = 1,

B(n) = Sum(1,n) S(n,k).　　其中Sum(1,n)表示对k从1到n求和，

 

问题7：

当Ｋ是有区别的时候，则一般都要在没有区别的基础上乘以K的全排列。