线性选择算法

http://hi.baidu.com/guoliqiang2006/blog/item/c019b700ed13a8dd277fb5ce.html

 

1.选择最大（或最小）元素。

时间复杂度为：O(n)

显然如果想要得到最大或最小元素要淘汰掉n-1个元素，所以最少需要n-1次比较，时间复杂度为O（n）

 

2.选择最大和最小元素。

如果先遍历一遍选择出最大元素，再遍历第二次找出最小元素，显然需要（n-1）+（n-2）=2n-3次比较。时间复杂度为O（n）

 

如果采用分治法：

1.将n个元素分成n/2组，每组两个数据。（如果n为奇数，分成(n/2+1)组，最后一组一个数据。下面的步骤

    假设n为偶数）

2.每个组中两个数据比较，得到n/2较大元素，n/2个较小元素。此步骤比较n/2次。

3.遍历n/2个较大元素，找出最大的元素。此步骤比较n/2-1此。

4.遍历n/2个较小元素，找到最小元素。此步骤比较n/2-1此。

此方法一共比较(3/2)*n-2次。比较次数小于上面的方法，但时间复杂度的阶没变，依旧是O（n）

可以看到上面只使用了一步分支法，如果一直使用下去，就是把n分成2个n/2,再把一个n/2分成两个n/4,.......

可以证明其比较次数依旧是（3/2）*n-2次。

 

3.选择第二大元素。

可是使用上面的方法，其比较次数是（3/2）*n-2。我们采用锦标赛算法可以使比较次数降到

（n-1）+（log（n）-1）次但时间复杂度的阶依然是O（n）。

锦标赛算法：

1. k   <-- n

2.k个数据两两分组，分成k/2组。

3，每组数据比较，淘汰较小者，但较小者要放在较大者淘汰数据链表中。这样剩下k/2个数据。

4，k <- k/2

5，如果k>1 goto 2

6.在最大元素的淘汰数据链表中遍历一遍，找链表中的最大的元素即为第二大元素。

找最大元素比较n-1次，找第二大元素比较log（n）-1次，一共比较（n-1）+（log（n）-1）次。

 

以下是选择第二小元素比较次数的解析（http://www.cnblogs.com/phishine/articles/1205351.html）

在算法导论中习题9-1提出，在最坏情况下利用 n +  - 2 次比较，找出n个元素中第二小的元素。     
    其方法叫做 tournament method, 算法实现如下: 
    对数组a[1…n] 中元素成对的做比较，每次比较后讲较小的数拿出，形成的数组再继续这样处理，直到剩下最后的一个，就是数组中最小的那个。将这个过程以一个树的形式表现出来,如下图： 

    

在这个过程中，非树叶节点就是比较的次数，一共进行了n-1 次比较，树根即为最小的元素。而第二小的元素一定是在这个过程中与根节点进行过比较的元素。即上图中5，3和2。这样的节点最多有个，在这些节点中找到最小的元素需要进行-1次比较。因此总共所需的比较次数为 n-1 + -1 = n+-2 次

 

4.选择第k大元素。

这个问题参经分析过，当时只是简单的应用了快速排序的思想，（http://hi.baidu.com/guoliqiang2006/blog/item/254ba25950c238d69c8204be.html）这种方法如果不采用预处理的话是件复杂度一般都会在O（n log（n）），原因是参加分划的元素是总能将原来的数据分成比较均衡的两块。

其实选择第k大元素如果在采用分划思想的基础上加上一点预处理，就可以

将时间复杂度降低到O（n）。