身高排队算法-(较优解):12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?

本人对解决算法有兴趣，曾在网上看到过一道阿里巴巴的面试题.

题目是这样的：12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?

 

所以自己也考虑了一个算法，也在网上看到别人的不同的算法。感觉我这个算法遍历效率很高，而且也很简洁（不敢用最来形容，怕强中更有强中手，当然如果能推导出公式来求解的话肯定会比我这个算法快，这个公式是F(n) = (n! / ((n/2)! * (n/2)!))/ (n/2 +1)）.

我的算法思想是这样的：

(1)把排队的问题转换成数字排列问题，类似于0- 11这12个数排成2行。

(2)可以只考虑前一排的情况，因为只要前一排是符合某些条件，剩余的数按顺序放后排自然能满足条件。

(3)第一排数要符合的条件是：

下面数值表示的是位置，

0   1   2   3   4   5

6   7   8   9 10 11

 

对于位置0，可能的数的范围是0

对于位置1，可能的数的范围是1，2

对于位置2，可能的数的范围是2，3，4

对于位置3，可能的数的范围是3，4，5，6

对于位置4，可能的数的范围是4，5，6，7，8

对于位置5，可能的数的范围是5，6，7，8，9，10

这样可以推导出：

对于位置为n的数，其数的范围是[n, 2n].

这样对于0-5的位置的数的范围就是[{0,1,2,3,4,5}, {0,2,4,6,8,10}],

我们把这个0-5的位置的数当成一个大的数来看待，对其进行++操作，只不过进位的时候是按每个位置的数的范围来进行进位。

比如：

1.目前数是{0,1,2,3,4,5}, ++操作后，数变为{0,1,2,3,4,6},因为6小于且等于位置5的最大值2n = 10,所以此组合是个符合要求的组合。

2.又如目前数是{0,1,2,3,4,10}, ++操作后，数变为{0,1,2,3,4,11},因为11大于位置5的最大值2n = 10, 因此要进位，这样位置4的数++，再检查位置4的数++后是5，小于且等于位置4的最大值2n = 8，这个位置符合条件，而位置5的数要置"0",这个0不能是再从范围的起始值开始，而是要等于位置4的数+1.因为从起始值开始的数肯定是小于位置4的值的。

3.以此类推，如果目前数是{0,1,4,6,8,10},++操作后，需要进位，一步一步往前进位，最终进位位置1的数，数就变成了{0,2,5,7,9,11}，然后要把位置1之后位置的每个位置的数置"0", 等于前一个位置的数+1，这样最后数就是{0,2,3,4,5,6}.

4.检查此数组合是否符合条件是，检查最后一个数是否小于且等于其位置的最大值。

附算法如下：

#include <iostream>

#include <vector>

 

using namespace std;

 

class pai2dui

{

public:

    pai2dui(int n)

    :mMaxNum(n / 2)

    ,mCount(0)

    ,mAllCount(0)

    {

        if (n > 1)

        {

            mCount = 1;

            for(int i = 0; i < n / 2; i++)

            {

               mData.push_back(i);

            }

        }

    }

 

    void run()

    {

        if(mMaxNum <= 0)

        {

           return;

        }

        int i = mMaxNum - 1;//从最后一个数开始++操作

        while (i)

        {

            ++mData[i];    //对位置为i的数进行++操作

            mAllCount++;   // 总循环的此数计数.

            if (mData[i] <= 2 * i)

            {// 如果该位置的数不超过对应位置的最大值，那么对其后面的位置的数置”0”.

                for (int j = i + 1; j < mMaxNum; j++)

                {//其后面位置的数等前面位置的数+1，能确保这个数是进位后”最小”符合的数的组合

                    mData[j] = mData[j - 1] + 1;

                }

            }

            else

            {// 如果该位置的数超过了对应位置的数的最大值，将数的位置往前移动一位，然后使用

              // continue重新++操作。

                i--;

                continue;

            }

           

            if (mData[mMaxNum - 1] <= 2 * (mMaxNum - 1))

            {//检查最后一位的数是否小于且等于其位置的最大值，如果是的话，此数组合符合要求

             // 计数并打印

                ++mCount;

 

                for(int k = 0; k < mMaxNum; k++)

                {

                   cout<< mData[k] << " ";

                }

                cout << endl;

                // 把++操作的数的位置置回最后一个位置。

                i = mMaxNum - 1;

            }

            else

            {  // 如果大于其位置的最大值，说明已遍历完毕，超过了此数组合的最大值。

                return;

            }

        }

    }

   

    void print()

    {

        cout<<mCount<<endl;

        cout<<mAllCount<<endl;

    }

private:

    int mMaxNum;

    vector <int> mData;

    int mCount;

    int mAllCount;

};

 

int main(int argc, char* argv[])

{

   int n;

  

   while(cin>>n)

   {

      pai2dui p(n);

      p.run();

      p.print();

   }

   return 0;

}

 

谢谢指教。