整数的拆分

1.问题提出

   整数s的拆分是把s分成为某些指定正整数之和，拆分式中不允许零数重复，且不记零数的次序。试求s共有多少个不同的拆分式？展示出s的所有这些拆分式。

2.递归设计

   注意到拆分与式中各零数的排列顺序无关，我们考虑从1~m这m个数中取k(k<m)个数的所有组合结果入手：设comb(int m, int k)为从1~m这m个数中取k个数的所有组合结果。

   当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1个数的组合。这就把从m个数中取k个数的组合问题转化为从m-1个数中取k-1数的组合问题。

   设置数组a[]存放救出的组合数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[]的一个组合输出。第一个数可以是m, m-1, ..., k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种选择：还未确定组合的其余元素时，继续递归确定组合的其余元素；已确定组合的全部元素时，输出这个组合。

   对于给定的和数s与最大零数m，首先计算拆分式中零数的最少个数wmin与零数的最多个数wmax，显然，拆分式中零数的个数k取在区间[wmin,wmax]中。

   建立三参数m、k、s的递归函数comb(m,k,s)，当选取的第一个数i选定时，其后的数字是从余下的i-1个数中取k-1个数的组合。对所选取的k个数，求其和t并与和数s进行比较：若t＝s，即找到一个拆分式，进行打印输出，并设置变量n统计拆分式的个数。

 

3.代码

 // 整数的拆分#include <stdio.h>#define MAXN 100// 数组a[]存放求出的组合数字// n统计拆分的种数int a[MAXN], t, n = 0;void comb(int m, int k, int s){int i, j;for (i = m; i >= k; i--) {a[k] = i;if (k == 1) {for (t = 0, j = a[0]; j > 0; j--)t += a[j];if (t == s) {n++;printf("%d=", s);// 满足条件时输出for (j = a[0]; j > 1; j--)printf("%2d+", a[j]);printf("%2d/n", a[1]);}}elsecomb(i - 1, k - 1, s);}}int main(void){int ms, ss, i, h, k, wmin, wmax;printf("请输入和数，最大零数：");scanf("%d%d", &ss, &ms);for (h = 0, i = 1; i <= ms; i++) {h += i;if (h > ss) {wmax = i - 1;break;}}// 输入的最大零数太小，程序返回if (i > ms) {printf("输入的最大零数太小！/n");return 0;}for (h = 0, i = 1; i <= ms; i++) {h += ms - i + 1;if (h > ss) {wmin = i - 1; break;}}for (k = wmin; k <= wmax; k++) {a[0] = k;comb(ms, k, ss);}// 输出拆分种数printf("n = %d/n", n);return 0;}

 

二、可以重复的所有情况

 

1.递推计算分划种数

⑴递推关系的确定

   设n的“最大零数不超过m” 的分划式个数为q(n, m)，这里m<=n，则

                  q(n,n)=1+q(n, n-1)

   等式右边的“1”表示n等于n本身；q(n,n-1)表示n的所有其他分划，即最大零数不超过n-1的分划。

                  q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m)  (1<m<n)

    其中q(n,m-1)表示零数中不包含m的分划式数目；q(n-m,m)表示零数中包含m的分划数目，因为如果确定了一个分划的零数中包含m，则剩下的部分就是对于n-m进行不超过m的分划。

    注意：如果n-m<m时，取q(n-m,m)=q(n-m,n-m)，初始条件：q(n,0)=0, q(1,m)=1

2.程序实现

// 整数分划递推计数#include <stdio.h>#include <math.h>int main(){int s, m, n;long q[121][121];printf("请输入整数s：");// 输入分划的整数scanf("%d", &s);for (m = 1; m <= s; m++) {// 确定初始条件q[m][0] = 0;q[1][m] = 1;}for (n = 2; n <= s; n++) {for (m = 1; m <= n -1; m++) {if (n - m < m)q[n - m][m] = q[n -m][n - m];q[n][m] = q[n][m - 1] + q[n - m][m];// 实施递推}q[n][n] = q[n][n - 1] + 1;// 加上n=n这一个分划式}printf("整数%d的分划种数：%ld/n", s, q[s][s]);return 0;}