[推荐]数阵中的最优路径

来源：互联网发布：淘宝咸鱼网编辑：程序博客网时间：2024/05/15 00:41

一、数值三角形中的最大路径

随机产生一个n行的点数值三角形（该数值三角形的第K行有K个点，每一个点都带有一个正整数），如图所示，即随机产生一个7行点数值三角形。寻找从顶点开始每一步可沿左斜（L）或右斜（R）向下直至底部的一条路径，使该路径所经过的点的数值和最大。

12 13

8 12 7

14 9 17 5

6 18 18 13 13

11 8 8 3 15 8

7 1 18 5 2 17 19

二、数值三角形中的最大路径搜索

应用动态规划，采用逆推法即从底向上逐行反推。

随机产生的点数值三角形的数值在二维数组a(n, n)中，同时赋给b(n, n)。这里数组b(i, j)为点i(i, j)到底的最大数组和，stm(i,j)是点(i,j)向左或向右的路标字符数组，实施逆推法，知b(i,j)与stm(i,j)(i=n-1,...,2,1)的值由b的第i+1行的值决定：

若b(i+1, j+1) > b(i+1, j)，则

b(i, j)=b(i,j)+b(i+1,j+1)；stm(i,j)="R"

若b(i+1,j+1) <= b(i+1,j)，则

b(i, j)=b(i,j)+b(i+1,j); stm(i,j)="L"

这样所得b(1,1)即为所示的最优路径数值和。

为了打印最优路径，利用stm数组从上而下查找：先打印a(1,1)，若stm(1,1)='R'，则下一个打印a(2,2)，否则打印a(2,1)。一般地，对i=2,3,...,n：

若stm(i-1, j)="R"，则打印“-R”；a(i,j+1)；同时赋值j++。

若stm(i-1, j)="L"，则打印"-L-"；a(i,j)；

依此打印出最大路径。

三、代码实现

// 求最优路径程序设计（－）// 利用动态规划，求点数值三角形的最优路径#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <time.h>int main(void){int i, j, nRow;int a[30][30], b[30][30];char stm[30][30];printf("请输入行数Row：");scanf("%d", &nRow);// 初始化随机数种子srand(time(NULL));// 输出n行的点数值三角形for (i = 1; i <= nRow; i++) {for (j = 1; j <= 40 - 2 * i; j++)printf(" ");for (j = 1; j <= i; j++) {a[i][j] = rand() % 20 + 1;b[i][j] = a[i][j];printf("%4d", a[i][j]);}putchar('/n');}// 逆推求取最大值for (i = nRow - 1; i >= 1; i--)for (j = 1; j <= i; j++) {if (b[i + 1][j + 1] > b[i + 1][j]) {b[i][j] = b[i][j] + b[i + 1][j + 1];stm[i][j] = 'R';}else {b[i][j] = b[i][j] + b[i + 1][j];stm[i][j] = 'L';}}printf("/n最优路径数值和为：%d", b[1][1]);printf("/n最优路径为：%2d", a[1][1]);j = 1;// 按中标引导输出最优路径for (i = 2; i <= nRow; i++)if (stm[i - 1][j] == 'R') {printf("-R-%2d", a[i][j + 1]);j++;}elseprintf("-L-%2d", a[i][j]);return 0;}

四、数值矩阵中的最小路径搜索

问题描述：随机产生一个n行m列的整数矩阵，如图所示即随机产生的一个7行5列的数值矩阵，在整数矩阵中寻找从左上角至右下角，每步可向下（D）或向右（R）或斜向右下（O）的一条数值和最小的路径。

27 28 29 18 26

16 13 19 14 27

32 22 39 26 21

10 30 23 20 18

13 11 30 29 20

10 13 21 17 36

34 37 15 22 36

设计要点：应用动态规划设计，即从右下角逐行反推左上角。确定n、m后，随机产生的整数二维数组a(n,m)作矩阵输出，同时赋给部分和数组b(n, m)。

这里数组b(i,j)为点(i,j)到右下角的最小数值和，stm(i,j)是点(i,j)向右（R）或向下（D）或向右下（O）的路标字符数组。

注意到最后一行与最后一列各数只有一个出口，于是由b(n,m)开始向左逐个推出同行的b(n,j)(j=m-1,...,2,1)；向上逐个推出同列的b(i,m)(i=n-1,...,2,1)。

b(i,j)与stm(i,j) (i=n-1,...,2,1; j=m-1,...,2,1)的值由同一列其下面的整数b(i+1,j)与同一行其右边的整数b(i,j+1)或其右下方的b(i+1,j+1)的值决定：

设min=min(b(i+1,j+1),b(i,j+1),b(i+1,j)；

首先，作赋值min=b(i+1,j+1),stm(i,j)="O"；

若b(i,j+1)<min，则min=b(i,j+1),stm(i,j)="R"；

若b(i+1,j)<min, 则min=b(i+1,j),stm(i,j)="D"。

然后赋值：b(i,j)=b(i,j)+min。

这样反推所得b(1,1)即为所求的最小路径数字和。

为了打印最小路径，利用c数组从上而下操作：先打印a(1,1), i=1, j=1.

①若stm(i,j)="R"，则j++，然后打印"-R-"与右边的整数a(i,j)。

②若stm(i,j)="D"，则i++，然后打印"-D-"与下面的整数a(i,j)。

③若stm(i,j)="O"，则i++,j++，然后打印"-O-"与斜右下的整数a(i,j)。

依次类推，直到打印到点a(n,m)。

代码实现：

// 求最优路径程序设计（－）// 利用动态规划，求数值矩阵左上角至右下角最小路径#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <time.h>int main(void){int m, n, row, col, min;int a[30][30], b[30][30];char stm[30][30];printf("请输入行数与列数n和m：");scanf("%d%d", &n, &m);// 初始化随机数种子srand(time(NULL));// 产生并输出n行m列的数值矩阵for (row = 1; row <= n; row++) {putchar('/n');for (col = 1; col <= m; col++) {a[row][col] = rand() % 40 + 5;// 5~44的随机数b[row][col] = a[row][col];printf("%4d", a[row][col]);}}// 第n行递推为边界条件for (col = m - 1; col >= 1; col--) {b[n][col] = b[n][col] + b[n][col + 1];stm[n][col] = 'R';}// 第m列递推为边界条件for (row = n - 1; row >= 1; row--) {b[row][m] = b[row][m] + b[row + 1][m];stm[row][m] = 'D';}// 逆推求取最大值b(1,1)for (row = n - 1; row >= 1; row--)for (col = m - 1; col >= 1; col--) {min = b[row + 1][col + 1];stm[row][col] = 'O';if (min > b[row + 1][col]) {min = b[row + 1][col];stm[row][col] = 'D';}if (min > b[row][col + 1]) {min = b[row][col + 1];stm[row][col] = 'R';}b[row][col] = b[row][col] + min;}printf("/n最优路径数值和为：%d", b[1][1]);printf("/n最优路径为：%2d", a[1][1]);row = 1; col = 1;// 按路标引导输出最优路径while (row < n || col < m) {switch (stm[row][col]) {case 'R':col++;printf("-R-%d", a[row][col]);break;case 'D':row++;printf("-D-%d", a[row][col]);break;case 'O':row++;col++;printf("-O-%d", a[row][col]);break;}}putchar('/n');return 0;}

转自《趣味C程序设计集锦》