C#编程之经典算法——递归过程（四）

背包问题（Knapsack problem）

 

      背包问题是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？它是在1978年由Merkel和Hellman提出的。

     

题目

　　有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

　　这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

　　用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 。 可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

　　这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

　　注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。

 

注：摘自百度百科

背包问题示例代码

const int max = 10;int[,] A = new int[max + 1, max + 1];int[,] B = new int[max + 1, max + 1];int[] c = new int[max], w = new int[max];/// <summary>/// 背包问题/// </summary>/// <param name="n">物品数量</param>/// <param name="v">背包容量</param>/// <returns></returns>int Knapsack(int n, int v){ if (n == 0) { return 0; } //子问题 if (A[n, v] == 0 && v >= c[n]) //放 { //背包容量减当前容量，将前n-1件物品放入背包中。 A[n, v] = Knapsack(n - 1, v - c[n]) + w[n]; } if (B[n, v] == 0) //不放 { //将前n-1个物品放入背包中 B[n, v] = Knapsack(n - 1, v); } return A[n, v] > B[n, v] ? A[n, v] : B[n, v];}