线性代数学习(2011.8.1-2011.8.12)

第一章 行列式：
主要包括：N阶行列式的定义、性质及其计算方法、N阶行列式求解N元线性方程组的克拉默法则。
1、二阶与三阶行列式(对角法则)
求解二元线性方程:
a(11)x(1)+a(12)x(2) = b(1),
a(21)x(1)+a(22)x(2) = b(2).
D = |a(11) a(12)| D(1)=|b1,a(12)| D(2)=|a(11) b(1)|
       |a(21) a(22)|          |b2,b(22)|          |a(21) b(2)|
x(1) = D(1)/D,x(2) = D(2)/D
注意：对角法则只适合二阶、三阶。

2、全排列及其逆序数
把N个不同的元素排成一列，叫做这N个元素的全排列(排列)。
P(n) = n*(n-1)...3*2*1=n!
规定各元素之间有一个标准次序时，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
eg:
求排列32514的逆序数
解在排列32514中：
3排在首位，逆序数为0
2的前面比2大的数有一个 (3)，故逆序数为1
5的前面比5大的数没有，故逆序数为0
1的前面比1大的数有三个(3、2、5),故逆序数为3
4的前面比4大的数有一个(5)，故逆序数为1
总逆序数t=0+1+3+0+1 = 5;

3、N阶行列式的定义(重点看下)

4、对换
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
定理2 N阶行列式也可以定义为:...

5、行列式性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零。
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。
推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号得外面。
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：则行列式可分为2个行列式相加。
性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。

6、行列式按行(列)展开
在N阶行列式中，把(i,j)元a(i,j)所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元a(ij)的余子式。记做M(ij)。
A(ij) = (-1)(i+j) M(ij)，叫做代数余子式。
引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除(i,j)元a(ij)外都为零，那么这行列式等于a(ij)与它的代数余子式的乘积，即 D=a(ij)A(ij)。
定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 D = a(i1)A(i1) + a(i2)A(i2)+...+a(in)A(in) (i=1,2,...,n),
或 D = a(1j)A(1j)+a(2j)A(2j)+...+a(nj)A(nj)(j=1,2,...,n)。

7、克拉默法则
克拉默法则 ：如果线性方程组的系数行列式不等于零，那么，方程组有惟一解。
定理4 如果线性方程组的系数行列式D！=0,则一定有解，且解是惟一的。
定理4的逆否定理 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
线性方程组右端的常数项不全为零时，线性方程组叫做非齐次线性方程组，全为零时，线性方程组叫做齐次线性方程组。
定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D！=0,则齐次线性方程组没有非零解。
定理5' 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。