SPFA算法 学习。

SPFA算法：求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm，是Bellman-Ford算法0(VE)的一个优化，期望的时间复杂度O(2E)，E为图的边数，所以SPFA用在稀疏图上的效果会更加明显。SPFA对Bellman-Ford算法优化的关键之处在于意识到：只有那些在前一遍松弛中改变了距离估计值的点，才可能引起他们的邻接点的距离估计值的改变。

很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra算法(0(V^2)，在稠密图上有优势）便没有了用武之地，而bellman_ford的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。

算法核心思想：理解这个算法，最好先看看Bellman-Ford,因为他是对Bellman-Ford的一个优化，SPFA算法采用了一个队列，优化算法，用数组dict[]记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

需要注意的是：仅当图不存在负权回路时，SPFA能正常工作。如果图存在负权回路，由于负权回路上的顶点无法收敛，总有顶点在入队和出队往返，队列无法为空，这种情况下SPFA无法正常结束。

1 记录每个结点进队次数，超过|V|次表示有负权
2 记录这个结点在路径中处于的位置，ord[i]，每次更新的时候ord[i]=ord[x]+1，若超过|V|则表示有负圈....

下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：

设有一个有向图G＝{V，E}，其中，V={V0,V1,V2,V3,V4}，E ={<V0,V1>,<V0,V4>,<V1,V2>,<V1,V4>,<V2,V3>,<V3,V4>,<V4,V2>} ={2,10,3,7,4,5,6}，见下图：  

    

算法执行时各步的Queue队的值和D数组的值由下表所示：

                   

算法执行到第五步后，队Queue空，算法结束。源点V0到V1的最短路径为2，到V2的最短路径为5，到V3的最短路径为9，到V4的最短路径为9，结果显然是正确的。

学习了。

附上一道练习题，传送门。