UVALive 4727

约瑟夫环的问题。

题目给你n,k。n即约瑟夫环的长度，k是淘汰掉从当前开始数的第k个人，然后问你被淘汰的最后三个人是谁。

 

逆向思维。如果某个人A是最后被淘汰掉的，当最后只剩下一个 人（即A）时，A一定是在0位置（我们从0位置开始，方便取余运算）。那么当只剩下两个人时，A的位置又是在哪呢？

引用下约瑟夫环的百度百科：

我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

　　k k+1 k+2 ... n-2,n-1, 0, 1, 2, ... k-2

　　并且从k开始报0。

　　现在我们把他们的编号做一下转换：

　　k --> 0

　　k+1 --> 1

　　k+2 --> 2

　　...

　　...

　　k-3 --> n-3

　　k-2 --> n-2

　　序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n

　　序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n

　　序列3： k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…,k-2, k-1

　　序列4：1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1

　　变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

　　∵ k=m%n;

　　∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

　　∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

　　得到 x‘=(x+m)%n

我们可以这样理解上面的公式，因为我们进行重新编号的时候，位置编号已经不是原来的位置编号，而是有了一个位移K，使所有的数的位置编号都移动了向左移动了K，如果我们要得到原来的位置编号，那么我们就要把这个当前的编号加上K才行，而K=m%n;，那么我们的问题就解决了。我们可以由一个人的当前位置编号得到它的上一次的位置编号，也就是说当我们知道A是最终的胜利者，并且A最后只有1个人的时候在位置0上，我们可以得出在只有两个人的时候，A在哪个位置上即(0+k)%2，如果递推下去，我们就可以得到n个人时，最后一个人的位置编号。

同理，我们要求倒数第二个被淘汰的人B的位置编号，我们只要在只有两个人时，得到不是的在A的位置位置，那么就是倒数第二个人被淘汰的位置编号（如果这时候A是0，那么B就是1，反之就是0），然后递推回去，我们就可以得到n个人时，B的位置编号。三个人同理。

最后把编号+1变成1到n的即可。

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>using namespace std;int f[500005];int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        int n,m,s=0,ans[3]={0};        int pos1,pos2,pos3;        scanf("%d%d",&n,&m);        f[1]=0;        for(int i=2;i<=n;i++)        {            f[i]=(f[i-1]+m)%i;        }        ans[0]=f[n]+1;        pos1=f[2]=(0+m)%2;        pos2=f[2]=(0+m)%2==1?0:1;     //   printf("step=%d %d\n",pos1,pos2);        f[2]=pos2;        for(int i=3;i<=n;i++)            f[i]=(f[i-1]+m)%i;        ans[1]=f[n]+1;        bool vis[3]={0};        vis[(pos1+m)%3]=1;        vis[(pos2+m)%3]=1;        for(int i=0;i<3;i++)        {            if(vis[i]==0)                pos3=i;        }        f[3]=pos3;    //    printf("step3=%d %d %d \n",pos1,pos2,pos3);        for(int i=4;i<=n;i++)        {            f[i]=(f[i-1]+m)%i;        }        ans[2]=f[n]+1;        printf("%d %d %d\n",ans[2],ans[1],ans[0]);    }    return 0;}