多校15场WHU Harry Potter and the Forbidden Forest（求网络的最小割的最小边数）

哈利波特想阻止在0点得食尸鬼到达n-1点，于是要破坏几条路，每条路消耗一定魔法，他想知道在耗费最少魔法的情况下，破坏的路最少。

（错误思路）比赛时想用费用流来解，对于原边每条边的cost赋值为1，流过之后最小的费用就是最小割得割数，但是运行之后发现结果不然，原因是费用是对于当前流所过边的所有费用而言，并不是割边的费用。。。

正确解法：

（定理？ （题解报告就这么给的构图方法，应该是利用了最小割的一些性质））在网络中任意流f是最大流，则该网络的所有可能存在的最小割的边一定包含在该流f的某些满流的边中。

不严密的证明（自己YY的，若有错误，希望路过的大牛指点一二）：

假设存在最小割的某边不在该f中的满流边中，设该边为e1，容量为c1，流f在该边的流量为f1（c1>f1），因为f为最大流，该割为最小割，根据著名的最大流最小割定理，f的流量和该割的容量相等，则f会存在至少一条包含非e1所在边的其他可行流，且该流也不包含该割的其他边，则此可行流是独立与原割的连接源汇点的通路，与最小割的定义矛盾。

根据上面那个不成门的定理，就有了解题报告的解法，先对原网络求一遍最大流后，对残量网络的满流的边赋值为1，非满流的边赋值为inf，对新网络求一遍最大流，该流的值即为最小割的最小边数。

 

方法一：

 

#include <cstdio>#include <cstring>const int maxn=1050;const int inf=1<<25;const int s=0;int L , W , N , P;struct edge{       int v,next,w;}edge[500005];int head[maxn],cnt;//for sapvoid addedge(int u, int v, int w){     edge[cnt].v=v;     edge[cnt].w=w;     edge[cnt].next=head[u];     head[u]=cnt++;     edge[cnt].v=u;     edge[cnt].w=0;     edge[cnt].next=head[v];     head[v]=cnt++;}int sap(int t){    int pre[maxn],cur[maxn],dis[maxn],gap[maxn];    int flow=0 , aug=inf ,u;    bool flag;    for (int i=0 ; i<=t ; ++i)    {        cur[i]=head[i];        gap[i]=dis[i]=0;    }    gap[s]=t+1;    u=pre[s]=s;    while (dis[s]<=t)    {          flag=0 ;          for (int &j=cur[u] ; ~j ; j=edge[j].next)          {              int v=edge[j].v;              if (edge[j].w>0 && dis[u]==dis[v]+1)              {                   flag=1;                   if(edge[j].w<aug)aug=edge[j].w;                   pre[v]=u;                   u=v;                   if (u==t)                   {                       flow+=aug;                       while (u!=s)                       {                             u=pre[u];                             edge[cur[u]].w-=aug;                             edge[cur[u]^1].w+=aug;                       }                       aug=inf;                   }                   break;              }          }          if (flag)continue ;          int mindis=t+1;          for (int j=head[u]; ~j ; j=edge[j].next)          {              int v=edge[j].v;              if (edge[j].w>0 && dis[v]<mindis)              {                 mindis=dis[v];                 cur[u]=j;              }          }          if(--gap[dis[u]]==0)break;          gap[dis[u]=mindis+1]++;          u=pre[u];    }    return flow;}/*void build_graph(){}*/void init (){     memset (head , -1 , sizeof(head));     cnt=0;}int main (){    int cas;    scanf("%d",&cas);    int n,m;    int u,v,w,d;    for (int I=1 ; I<=cas ; ++I)    {        scanf("%d%d",&n,&m);        init ();        for (int i=0 ; i<m ; ++i)        {            scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&w,&d);            if(d)addedge(v,u,w);            addedge(u,v,w);        }        sap(n-1);        for (int i=0 ; i<cnt ; i+=2)        {            if(edge[i].w==0)            {                edge[i].w=1;                edge[i^1].w=0;            }            else            {                edge[i].w=inf;                edge[i^1].w=0;            }        }        int ans=sap(n-1);        printf("Case %d: %d\n",I,ans);    }    return 0;}

 在网上又看到了一个很神的方法，给原来每条边加一个权值，原来的容量c变成c*(m+1)+1.

最小割就是cmin=c'min/(m+1),最小边数就是c'min%(m+1);

 

稍加改动 可以求出最小割的最多边数

核心代码

        for (int i=0 ; i<m ; ++i)        {            scanf("%d%d%I64d%d",&u,&v,&w,&d);            if(d)addedge(v,u,w*m+1ll+w);            addedge(u,v,w*m+1ll+w);        }        int ans=(sap(n-1)+m+1)%(m+1);        //int ans=m+1-(sap(n-1)+m+1)%(m+1);        /*求最小割的最大边数,+1改为-1*/        printf("Case %d: %d\n",I,ans);