关于px+qy类命题的研究
华南师大附中 袁豪
http://www.csie.ntu.edu.tw/~b93103/study/ioi/pxqy.htm
命题1：已知(p,q)=1 ，p≥1,q≥1，求证不能表示为 px+qy,(x≥0,y≥0)的最大整数是pq-p-q。（如无特别说明，这里所有字母都是整数）
证：
首先证明：pq-p-q不能表示为px+qy的形式
反证法：假设存在x≥0, y≥0使 pq-p-q = px + qy，则有
pq-p-q = px + qy
ó p(q-x-1)=q(y+1)
ó q | q-x-1 (因为 (p,q)=1)
ó q | x+1
又因为 px=pq-p-q-qy <pq 所以 x<q ó x≤q-1
由 0≤x≤q-1以及 q | x+1 可以得到：x=q-1，
有 pq-p-1=px+qy=p(q-1)+qy ó y=-1 ,这与 y≥0矛盾
故pq-p-q不能表示为 px+qy, (x≥0,y≥0)
现在证明：对于 n>pq-p-q，必定存在x≥0，y≥0使n=px+qy
考察这样q个数：
n
n-p
n-2p
n-3p
……
n-(q-1)p
这个q个数除以q的余数必定构成集合{0,1,2,…,q-1}，
否则必存在0≤i<j≤q-1使 q | (n-ip)-(n-jp) ó q | (j-i)p ó q| j-i
但是 1≤j-i≤q-1，所以不可能有q| j-i，
于是这个q个数除以q的余数必定构成集合{0,1,2,…,q-1}，
如果 n-up (v为整数)除以q的余数为0，设 n-up=vq，(0≤u≤q-1) ，
由于 vq=n-up>(pq-p-q)- (q-1)p = -q ó v>-1 ó v>=0，
所以y取v，x取u即得px+qy=n
证毕。
推论1：已知 (A1,A2,A3,…,As ) = 1 ，Ai≥1 (1≤i≤s)，Ai互不相等，则对于n>∏Ai-∑Ai , 必定存在Xi≥0 (1≤i≤s)，使 n=∑AiXi
证：可用数学归纳法证明，请同学们自己尝试。（这个推论比较弱）
命题2：已知 (p , q ) = 1 ，p≥1,q≥1，对于任意非负整数n都能表示为pu + qv, (0≤u≤q-1)。
证1：由命题1的证明即可
证2：由于存在整数x,y使 n=px+qy，所以由恒等式：
n=px+qy=p(x+qt)+q(x-pt)=p(x-qt)+q(x+pt) 可以调整出符合命题的u、v来。
推论2：已知 (p , q ) = 1 ，p≥1,q≥1，记m=pq-p-q，对于n (0≤n≤m)和m-n，其中有且只有一个能表示为 px+qy (x≥0,y≥0)的形式。
证：由命题２知 n,m-n可以分别表示为：
n=px+qy (0≤x≤q-1)
m-n=pu+qv (0≤u≤q-1)
相加得
m=p(x+u)+q(y+v)
ó pq-p-q=px+u)+q(y+v)
ó p(q-1-x-u)=q(y+v+1)
ó q|(q-1-x-u) 且 p|(y+v+1)
q|(q-1-x-u) ó q|x+u+1
因为 1≤x+u+1≤2q-1 所以 x+u+1=q
故 y+v+1=0 在这里我们得到了 x和u与y和v的关系式
如果y、v都小于0，那么 0=1+y+v<=1+(-1)+(-1)=-1，这是不可能的
如果y、v都不小于0，那么 0=1+u+v>=1，这也是不可能的
所以y、v中有一个小于0，有一个不小于0
也就是说n和m-n中有一个能表示为px+qy (x≥0,y≥0)的形式，另一个则不能。
证毕。
推论3：已知(p,q)=1 ，p≥1,q≥1，则不能表示为 px+qy (x≥0,y≥0)的形式的非负整数的数目为(p-1)(q-1)/2
证：首先 p,q不同时为偶数，所以pq-p-q+1=(p-1)(p-1)必为偶数
由推论２知：在[0,pq-p-q]内的pq-p-q+1个整数，按和为pq-p-q配对，共得(pq-p-q+1)/2对，每一对必有一个不能表示为题目所述形式。而对于大于pq-p-q的整数，由命题１知必定能表示为那种形式。所以不能表示为那种形式的非负整数的数目为 (p-1)(q-1)/2
问题：已知p,q，求n=(p,q)，以及 满足px+qy=n的x,y
算法：辗转相处法。
y=(n-px)/q=(n-(p mod q)x)/q-(p div q)x
记 y’=x, x’=(n-(p mod q)x)/q=(n-(p mod q)y’)/q
ó qx’+(p mod q)y’=n
于是我们可以递归的得到x’和y’
然后得出
x=y’
y=x’-(p div q)y’
附Pascal程序：
function extended_euclid(p,q:longint; var x,y:longint):longint;
var
t:longint;
begin
if q=0 then
begin
extended_euclid:=p;
x:=1;
y:=0;
end else
begin
extended_euclid:=extended_euclid(q,p mod q,x,y);
t:=x;
x:=y;
y:=t-p div q*y;
end;
end;
总结：这些结论对解一些数论问题有很大的帮助。（废话）
