编程之美：分层遍历二叉树

问题定义

给定一棵二叉树，要求按分层遍历该二叉树，即从上到下按层次访问该二叉树(每一层将单独输出一行)，每一层要求访问的顺序为从左到右，并将节点依次编号。下面是一个例子:

输出:

12 34 5 67 8

节点的定义:

1struct Node {

2Node *pLeft;

3Node *pRight;

4intdata;

5};

书上的解法

书上举出两个解法。第一个解法是用递归方式，搜寻并打印某一层的节点，再打印下一层的节点。这方法简单但时间效率不高(但不需要额外空间)，因此书中亦提供了第二个解法。

书中第二个解法，使用vector容器来储存n个节点信息，并用一个游标变量last记录前一层的访问结束条件，实现如下:

01void PrintNodeByLevel(Node* root) {

02vector<Node*> vec;// 这里我们使用STL 中的vector来代替数组，可利用到其动态扩展的属性

03vec.push_back(root);

04intcur = 0;

05intlast = 1;

06while(cur < vec.size()) {

07Last = vec.size();// 新的一行访问开始，重新定位last于当前行最后一个节点的下一个位置

08while(cur < last) {

09cout << vec[cur] -> data <<" ";// 访问节点

10if(vec[cur] -> lChild)// 当前访问节点的左节点不为空则压入

11vec.push_back(vec[cur] -> lChild);

12if(vec[cur] -> rChild)// 当前访问节点的右节点不为空则压入，注意左右节点的访问顺序不能颠倒

13vec.push_back(vec[cur] -> rChild);

14cur++;

15}

16cout << endl;// 当cur == last时,说明该层访问结束，输出换行符

17}

18}

广度优先搜索

书中没有提及，本问题其实是以广度优先搜索(breath-first search, BFS)去遍历一个树结构。广度优先搜索的典型实现是使用队列(queue)。其伪代码如下:

1enqueue(Q, root)

2do

3node = dequeue(Q)

4process(node)//如把内容列印

5foreach child of node

6enqueue(Q, child)

7while Q is not empty

书上的解法，事实上也使用了一个队列。但本人认为，使用vector容器，较不直觉，而且其空间复杂度是O(n)。

如果用队列去实现BFS，不处理换行，能简单翻译伪代码为C++代码:

01void PrintBFS(Node* root) {

02queue<Node*> Q;

03Q.push(root);

04do{

05Node *node = Q.front();

06Q.pop();

07cout << node->data <<" ";

08if(node->pLeft)

09Q.push(node->pLeft);

10if(node->pRight)

11Q.push(node->pRight);

12}

13while(!Q.empty());

14}

本人觉得这样的算法实现可能比较清楚，而且空间复杂度只需O(m)，m为树中最多节点的层的节点数量。最坏的情况是当二叉树为完整，m = n/2。

之后的难点在于如何换行。

本人的尝试之一

第一个尝试，利用了两个队列，一个储存本层的节点，另一个储存下层的节点。遍历本层的节点，把其子代节点排入下层队列。本层遍历完毕后，就可换行，并交换两个队列。

01void PrintNodeByLevel(Node* root) {

02deque<Node*> Q1, Q2;

03Q1.push_back(root);

04do{

05do{

06Node* node = Q1.front();

07Q1.pop_front();

08cout << node->data <<" ";

09if(node->pLeft)

10Q2.push_back(node->pLeft);

11if(node->pRight)

12Q2.push_back(node->pRight);

13} while (!Q1.empty());

14cout << endl;

15Q1.swap(Q2);

16} while(!Q1.empty());

17}

本实现使用deque而不是queue，因为deque才支持swap()操作。注意，swap()是O(1)的操作，实际上只是交换指针。

这实现要用两个循环(书上的实现也是)，并且用了两个队列。能够只用一个循环、一个队列么?

本人的尝试之二

换行问题其实在于如何表达一层的结束。书上采用了游标，而第一个尝试则用了两个队列。本人想到第三个可行方案，是把一个结束信号放进队列里。由于使用queue<Node*>，可以插入一个空指针去表示一层的遍历结束。

01void PrintNodeByLevel(Node* root) {

02queue<Node*> Q;

03Q.push(root);

04Q.push(0);

05do{

06Node* node = Q.front();

07Q.pop();

08if(node) {

09cout << node->data <<" ";

10if(node->pLeft)

11Q.push(node->pLeft);

12if(node->pRight)

13Q.push(node->pRight);

14}

15elseif(!Q.empty()) {

16Q.push(0);

17cout << endl;

18}

19} while (!Q.empty());

20}

这个实现的代码很贴近之前的PrintBFS()，也只有一个循环。注意一点，当发现空指针(结束信号)时，要检查队列内是否还有节点，如果没有的话还插入新的结束信号，则会做成死循环。