百度笔试题 A的B次方的后三位

      今天被同学问到这样一个题目：

      求A^B的最后三位数表示的整数。（1<=A,B<=10000）。如果直接求A^B次方的话，显然会超出数据类型的表示范围。但是仅仅作为后三位来说的话，最后三位的乘积实际上只跟上一次乘积的后三位有关，如（1234 * 1234） %1000 == （234 * 234 )%1000。因此整体代码如下：

int test(int A,int B){int i,ret,tmp;ret=tmp=A%1000;for(i=1;i<B;i++){ret *= (ret*tmp)%1000;}return ret;}

       但是这道题实际上，让我想到的是，在清华面试的时候，当时主考官给我出的一道算法题。求A^B次方对P求余，当然A，B的取值范围很大，也会发生数组越界的事情。其实这道题可以用数学证明如下：A^B%P求余的结果只能是两种结果，B取值为[1，无穷大]，A^B%P的结果只有两种一种是{A%P，A^2%P， A^3%P，…0， 0，…}。即A^k 整除P。另一种情况是一个循环队列{A%P，A^2%P，A^3%P，…A^k%P，A^1%P，A^2%P}。

      采用数学归纳法进行证明：

      当B=P时，A^P%P = A%P成立。（A与B互质情况下，费马小定理）

      假设A^N%P = A^k%P，那么只需证明A^(N+1) %P == A^(K+1) %P求余，则可以说明A^B %P求余数是一个循环队列。

      因为设X =  A^N %P  = A^k%P, Y = A^(N+1)%P。

      则A^N = mP + X; A^k = m'P + X; 则 

       A^(N+1)%P = A^N * A %P = (mP + X) * A % P = (m *A * P + X * A) % P = (X * A) % P;

       A^(K+1)%P = A^K *A % P = (m'P + X) * A % P = (m' * A * P + X * A) %P  = (X * A) % P;

      因此 A^(N+1)%P = A^(K+1)%P 等式成立，所以A^B%P是一个循环队列，因此只要求出循环的前N个数就可以了。