ZOJ_Arrange the Schedule

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3538

题意：给n个点，用4种颜色给n个点着色，其中有m个点的颜色已经确定，要求每两个相邻的点着不同的颜色。问共有多少种方法。

算法1：DP, 由于每个位置着什么颜色只与其前一个位置的颜色有关，因此可以考虑dp[i][j] ， 到i个点，第i个点着j色，共有的种数。但是这里的n<=1e7，这样的算法显然会超时。

算法2 ：由于n 的范围很大， 这里我们不得不去考虑用数学的方法求解，而不能去分析中间的过程（因此会超时）。因为正是每个已确定的点阻碍了我们的考虑，因此我们这里可以将整个线段的情况分开考虑。

情形1 ：没有确定点，则 ans = 4 * 3^(n-1) ;

情形2 ：n>=1 

（1）： 00..（L个没有确定的位置）..00X 这种情况的种数：3^L ;

（2）：X1 00..（L个没有确定的位置）...00 X2 ：这里又要分类讨论X1 ?= X2 

为了讨论方便，我们记 F（n）为n个空位置，两端的元素相同时的种数，D(n)为n个空位置，两端的元素不相同时的种数。

1）: X1 == X2，F(n)  = 3 * F(n-2) + 6 * D(n-2) ;    F(0) = 0 ; F(1) = 3 ;

2)  : X1 != X2 , D(n)  = 2 * F(n-2) + 7 * D(n-2) ;     D(0)  =1 ;D(1) = 2 ;

得出了上面的两个递推关系之后，下面我们的任务就是要分别求出F(n) 和 D(n) ，这里要母函数的方法求解。记：

A(x) = F(0) + F(1)*X + F(2)*X^2 + .......

B(x) = D(0) + D(1) *X + D(2) *X^2 + .......

我们的目标是求F(n) ,为了求F（n），我们可以先求出A(x) ，这样一种方法就是用A(x) 、B(x) 代人上面的两个递推关系式中，从而求解出A(x), B(x)。中间的过程这里就不详细展开了， 最后求得

F(n) = 3/4 * (3^L - (-1)^L) ;   D(n) = (3^(L+1) + (-1)^L) / 4 ; 

最后只要将每一块的种数相乘即可。

通过这题，了解了两种求解a ^ b 的log(b)的算法，

分别是：

long long  cal( int n )  //时间复杂度也是log(n) {      long long  res=1;      for (int t=0 ; n ; n>>=1 ,t++ )          if(n&1)res=res*pow3[t]%mod;      return res;  } 

这里的pow3[t] 是 3^2^t ；

另外一种是分治的思想：

long long cal(int num)//分治的思想求a^b，时间复杂度为log(b) {if(num == 1)return 3 ;if(num == 0)return 1;long long res ;if(num&1){long long res2 = cal(num/2) ;res = ((res2*res2) % mod) *3 % mod ;}else {long long res2 = cal(num/2) ;res = (res2*res2) % mod;}return res ;}

本题的代码：

#include<stdio.h>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;typedef unsigned long long ll;//取模运算，这里要是用long long 就不行，只能用unsigned long long,不懂。。 const ll mod_ = 1000000007ll ;const ll mod = 4*1000000007ll;/*long long  pow3[100] ;long long  cal( int n )  //另外的一种求3^n的方法，时间复杂度也是log(n) {      //cout << n << endl;      long long  res=1;      for (int t=0 ; n ; n>>=1 ,t++ )          if(n&1)res=res*pow3[t]%mod;      //cout << res << endl;      return res;  } */struct Node{int pos ;char team ;friend bool operator < (Node a , Node b){return a.pos < b.pos ;}}arr[15] ;long long cal(int num)//分治的思想求a^b，时间复杂度为log(b) {if(num == 1)return 3 ;if(num == 0)return 1;long long res ;if(num&1){long long res2 = cal(num/2) ;res = ((res2*res2) % mod) *3 % mod ;}else {long long res2 = cal(num/2) ;res = (res2*res2) % mod;}return res ;}int main(){int n,m;char c;/*pow3[0]=3;      for (int i=0 ; i<50 ;++i)      {          pow3[i+1]=pow3[i]*pow3[i]%mod;          //printf("%lld  %lld\n",pow3[i] * pow3[i] ,pow3[i+1]);      } */while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){long long res = 1;if(m==0){res = ( cal(n-1) * 4 ) % mod_ ;cout<<res<<endl ;continue ;}for(int i=0;i<m;i++){scanf("%d%c%c" ,&arr[i].pos ,&c , &arr[i].team );}sort(arr,arr+m);res = res * cal(arr[0].pos-1+n-arr[m-1].pos) % mod_ ; for( int i = 1 ; i < m ; i ++ ){int L = arr[i].pos - arr[i-1].pos - 1;long long num ;if(arr[i].team == arr[i-1].team){num = ((3*(cal(L) + (L&1)?1:(-1)))%mod )/4 ;  //这里是 %mod ，一开始没有注意，不能 %mod_ ..以后要记住。。 res = res * num % mod_ ;} else if(arr[i].team != arr[i-1].team){num = ((cal(L+1)-((L&1)?1:(-1)))%mod ) / 4 ;//同理。。 res = res * num  % mod_ ;}}//printf("%lld\n",res%mod_);cout<<(res%mod_)<<endl ;}return 0;}