n个节点能组成多少种二叉树

 

思想：递归+组合

 

当n=1时，只有1个根节点，则只能组成1种形态的二叉树，令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n)，

则h(1)=1;

当n=2时，1个根节点固定，还有n-1个节点，可以作为左子树，也可以作为右子树，

即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，则能组成2种形态的二叉树。这里h(0)表示空，所以只能算一种形态，即h(0)=1;

当n=3时，1个根节点固定，还有n-1=2个节点，可以在左子树或右子树，

即：h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，则能组成5种形态的二叉树。

以此类推，当n>=2时，可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)种。

 

即符合Catalan数的定义，可直接利用通项公式得出结果。

递归式：

　　h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

该递推关系的解为：

　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)