斐波那契数列的应用

 本文出自:http://blog.csdn.net/hongchangfirst

前几天看了一个面试题，现在把题目和思路整理如下，以飨读者。

 

 对一个正整数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求经过9次操作变为1的数有多少个？

 

我们可以先进行反向推理：

第9次操作：结果1只能由2产生。

第8次操作：结果2只能由4产生。

第7次操作：结果4由8、3产生。

第6次操作：结果8由16、7产生；结果3由6产生。

第5次操作：结果16由32、15产生；结果7由14产生；结果6由12、5产生。

 

我们从中可以看出，一个偶数必然由一个偶数或者是一个奇数产生（除2外，因为1是最终结果，不可能出现1+1=2得到2这种情况）；一个奇数必然由一个偶数产生。也就是说，一个偶数可以产生一个偶数和一个奇数，一个奇数可以产生一个偶数。

 

根据每次操作所能产生的数的数量为1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34. . . . . . 我们可以猜测其数量为斐波那契数列。下面证明其数量是第几操作的斐波那契数列。

证法如下：

 

设a[n]为第n次计算时偶数的数量，b[n]为第n次计算时奇数的数量，sum[n]是第n次计算时的总数量，显然，sum[n]=a[n]+b[n]。

根据题意得：

1. a[n]=a[n-1]+b[n-1]
2. b[n]=a[n-1]

则总的个数等于偶数的个数加上奇数的个数：sum[n]=a[n]+b[n]

                                                                                             =a[n-1]+b[n-1]+a[n-1]

                                                                                             =a[n-1]+b[n-1]+a[n-2]+b[n-2]

                                                                                             =sum[n-1]+sum[n-2]

即证，sum为斐波拉契数列。

由于a[0]=1,b[0]=0

  (只有数字2)，

a[1]=1,b[1]=0

(只有数字4)，

所以sum[0]=1,sum[1]=1。

由这两个初始值可以算出(经过一次操作的是sum[0])，所以经过9次操作的数为sum[8]=34。