§2 方阵的特征值与特征向量

 

§2  方阵的特征值与特征向量

定义   设 是阶方阵，若有数和非零向量，使得

称数 是的特征值，非零向量是对应于特征值的特征向量。

例如   对 ，有及向量，使得，这说明是的特征值，是对应于的特征向量。

特征值和特征向量的求法：

1．  由得，并且由于是非零向量，故行列式，即

（称之为的特征方程）

由此可解出 个根（在复数范围内），这就是的所有特征值。

2．  根据某个特征值，由线性方程组解出非零解，这就是对应于特征值的特征向量。

例   求 的特征值和特征向量。

解   由 ，得，解得；

对 ，求解，得，取对应于的特征向量；

对 ，求解，得，取对应于的特征向量。

例   求 的特征值和特征向量。

解   由 ，解得；

对 ，解得对应的特征向量；

对 ，求解，得，取对应的特征向量。

例   求 的特征值和特征向量。

解   由 ，解得；

对 ，解得对应的特征向量；

对 ，求解，得，

取对应的特征向量 。

特征值和特征向量的性质：

1 ． ，

2 ．若 是的特征向量，则对，也是的特征向量。

3 ．若 是的特征值，则是的特征值，从而是的特征值。

4 ． 是的个特征值，为依次对应的特征向量，若各不相同，则线性无关。