因数小于16的正整数拆分方案：一个有趣的dp

     

        “灰常灰常”有趣的dp；

        给定一个高精数，将这个高精数分解成若干个不大于16的因数的幂的积，求方案数；

        也就是把s分解为：a1^K1 * a2^k2 * a3^k3......,其中a<=16;

  

        由于给出数字实在太大了，考场上以为是个矩乘或母函数（TAT）......

         这道题的dp也算隐藏的比较深；

   

         首先将s分解质因数：可以知道，如果有大于16的质因数，那么方案数为0，而如果有11，13的质因数，那么他们        对答案毫无贡献，11和13只能单独存在。

          而剩下的只有2,3,5,7,可以构成的合数有4,6,8,9,10,12,14,15；

          明显只用2,3可以拼出4,6,8,9,可以枚举有多少个2和3是拼成4,6,8,9这些数的，此时，如果单独拼7的个数确定，那么所有的数都是确定的了（枚举的2，且已知7，可以推出有多少个14，从而推出10，枚举3可以推出15的个数，最后推出5的个数）。

          因此可以先dp：用i个2和j个3 一起拼，拼成4,6,8,9的方案数，然后看有多少个7可以单独放出，统计答案。

贴代码：

program decomposition;uses math;const    mo=1000000000+9;type    arr=array[0..3000]of longint;var   s:ansistring; b,a:arr;   tot,m2,m3:array[0..20]of longint;   bj:array[0..20]of boolean;   f:array[0..5000,0..5000]of longint;   b2,b3,now,k,i,j:longint;   ans,l,r,tmp:int64;procedure inf;begin   assign(input,'decomposition.in');   assign(output,'decomposition.out');   reset(input);rewrite(output);end;procedure ouf;begin   close(input);close(output);end;procedure init;begin   readln(s);   for i:=length(s) downto 1 do     begin        inc(a[0]); a[a[0]]:=ord(s[i])-ord('0');     end;end;function arrdiv(x:longint):boolean;var i:longint;begin    move(a[1],b[1],a[0]*4); b[0]:=a[0];    for i:=b[0] downto 2 do         b[i-1]:=b[i-1]+(b[i] mod x)*10;    if b[1] mod x =0 then exit(true) else exit(false);end;operator /(var a:arr;b:longint)c:arr;var i:longint;begin    move(a[1],c[1],a[0]*4); c[0]:=a[0];    for i:=c[0] downto 1 do      begin         c[i-1]:=c[i-1]+(c[i] mod b)*10;         c[i]:=c[i] div b;      end;   while (c[c[0]]=0) and (c[0]>1) do dec(c[0]);end;procedure work(x:longint);begin    while  arrdiv(x) do      begin         inc(tot[x]);         a:=a / x;      end;end;procedure prepare;begin     work(2); work(3);work(5);     work(7); work(11); work(13);     if (a[0]>1)or ((a[0]=1) and (a[1]>1))       then begin write(0);    ouf; halt; end;     for i:=1 to 16 do        begin          now:=i;          while now mod 2=0 do begin now:=now div 2; inc(m2[i]); end;          while now mod 3=0 do begin now:=now div 3; inc(m3[i]); end;          if now>1 then bj[i]:=false else bj[i]:=true;        end;      fillchar(f,sizeof(f),0);      f[0,0]:=1;      for k:=2 to 16 do        if bj[k] then         for i:=m2[k] to tot[2] do           for j:=m3[k] to tot[3] do            if f[i-m2[k],j-m3[k]]>0 then              f[i,j]:=(f[i,j]+f[i-m2[k],j-m3[k]]) mod mo;end;procedure main;begin   for b2:=0 to tot[2] do     for b3:=0 to tot[3] do       if f[b2,b3]>0 then          begin             l:=max(max(0,tot[7]+b2-tot[2]),tot[7]+b2+b3-tot[2]-tot[3]);             r:=min(tot[7],tot[5]+tot[7]-tot[2]-tot[3]+b2+b3);             tmp:=f[b2,b3];             if r>=l then  ans:=(ans+(r-l+1)*tmp) mod mo;          end;  writeln(ans);end;begin   inf;   init;   prepare;   main;   ouf;end.