动态规划 POJ 1037 A decorative fence

       这道题还是比较难想出来的，我也搞了好久才搞懂，而且是在问了大牛的基础上才搞清楚的。反而觉得黑书上没有讲清楚，现在我们来具体看看这道题的思路吧。

       我们这样看一个符合条件的序列，例如一个长度为n的序列，当我们去定了前面的k项的时候，后面剩下的n-k项与1到n-k的符合条件的序列有一个一一对应的关系。这便是我们使用动态规划的动机，存在重叠子问题。于是我们如下定义状态：

dp[i][j][0]表示以i为开头的，长度为j的上升的合法的序列的总数

dp[i][j][1]表示以i为开头的，长度为j的下降的合法的序列的总数

      我们当前的长度为j的序列的子问题正好与j-1长度的合法序列相对应（这一点需要仔细理解），于是可以确定我们状态的定义和转移时合法的。

dp[i][j][0]=sum{dp[x][j-1][1]} (j-1>=x>=i)

dp[i][j][1]=sum{dp[x][j-1][0]} (i>x>=1)

       我们预处理出来上面的dp值之后，就是构造解了。

       对于这种构造排列的问题，我们通常是逐位减去高位所确定的合法排列的个数。对于这道题我们也是一样，但是对于第一个起点我们要特殊处理，判断是上升还是下降。之后就直接减去符合条件的排列数，一次确定每一位就行了。

      最后输出解的时候，我们要注意，我们存的是在剩下的可选的数中的第几大的数，于是我们要反回来映射到1-n之间的数，反正数据量比较小，直接暴力枚举。

思路就是这样，不明白可以看看代码：

#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <cstdio>using namespace std;const int Max=25;typedef long long LL;LL dp[Max][Max][2];void init(int n){    memset(dp,0,sizeof(dp));    dp[1][1][0]=1;//up    dp[1][1][1]=1;//down    for(int j=2;j<=n;j++)    {        for(int i=1;i<=j;i++)        {            for(int x=i;x<j;x++)            {                dp[i][j][0]+=dp[x][j-1][1];            }            for(int x=1;x<i;x++)            {                dp[i][j][1]+=dp[x][j-1][0];            }        }    }}int ans[Max];void solve(int n,LL c){    int tn=n;    int flag,cur;    LL sum=0LL;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        if(sum+dp[i][n][0]+dp[i][n][1]>=c)        {            ans[1]=i;            c-=sum;            cur=i;            break;        }        sum+=(dp[i][n][0]+dp[i][n][1]);    }    if(c<=dp[cur][n][1])  flag=1;    else{c-=dp[cur][n][1];flag=0;}    --n;    int len=2;    while(n>0)    {        if(flag==0)        {            for(int i=cur;i<=n;i++)            {                if(dp[i][n][1]>=c)                {                    cur=i;                    ans[len++]=cur;                    break;                }                c-=dp[i][n][1];            }        }        else        {            for(int i=1;i<cur;i++)            {                if(dp[i][n][0]>=c)                {                    cur=i;                    ans[len++]=cur;                    break;                }                c-=dp[i][n][0];            }        }        --n;        flag=1-flag;    }    int vis[Max]={0};    for(int i=1;i<=tn;i++)    {        for(int j=1;j<=tn;j++)        {            if(vis[j]==0)            {                ans[i]--;                if(ans[i]==0)                {                    printf("%d%c",j,i==tn?'\n':' ');                    vis[j]=1;                    break;                }            }        }    }}int main(){    int T,n;    LL c;    scanf("%d",&T);    init(20);    while(T--)    {        scanf("%d %lld",&n,&c);        solve(n,c);    }    return 0;}