斐波那契查找(FibonacciSearch)

说明

二分搜寻法每次搜寻时，都会将搜寻区间分为一半，所以其搜寻时间为O(log(2)n)，log(2)表示以2为底的log值，这边要介绍的费氏搜寻，其利用费氏数列作为间隔来搜寻下一个数，所以区间收敛的速度更快，搜寻时间为O(logn)。

方法

该方法稍有些繁琐，对照代码更容易理解。费氏搜寻使用费氏数列来决定下一个数的搜寻位置，所以必须先制作费氏数列，这在之前有提过；费氏搜寻会先透过公式计算求出第一个要搜寻数的位置，以及其代表的费氏数，以搜寻对象10个数字来说，第一个费氏数经计算后一定是F₅，而第一个要搜寻的位置有两个可能，例如若在下面的数列搜寻的话（为了计算方便，通常会将索引0订作无限小的数，而数列由索引1开始）：

-∞ 1 3 5 7 9 13 15 17 19 20

如果要搜寻5的话，则由索引F₅（F₅表示第五个费式数作为索引，也就是5）开始搜寻，接下来如果数列中的数大于指定搜寻值时，就往左找，小于时就向右，每次找的间隔是F₄（第四个费式数作为索引，也就是3）、F₃（第三个费式数作为索引，也就是2）、F₂（第二个费式数作为索引，也就是1）来寻找，当费氏数为0时还没找到，就表示寻找失败，如下所示：

如果要搜寻19，由于第一个搜寻值索引F₅处的值小于19，所以此时必须对齐数列右方，也就是将第一个搜寻值的索引改为F₅+2 = 7，然后如同上述的方式进行搜寻，如下所示：

至于第一个搜寻值是如何找到的？我们可以由以下这个公式来求得，其中n为搜寻对象的个数，F_y为第y个费式数，必须大于等于n，若算出x值，则使用F_x作为第一个搜寻索引，也就是第x个费式数：

以10个搜寻对象来说：

取F_y = 8, m = 2，所以可以对照费氏数列得到8是第六个费式数，所以y=6，所以x得5，也就是使用第五个费式数的值（也就是5）作为索引开始搜寻。

如果数列在索引5处的值大于指定的搜寻值，则第一个搜寻位置就是索引5的位置，如果小于指定的搜寻值，则第一个搜寻位置必须加上m，也就是F₅ + m = 5 + 2 = 7，也就是索引7的位置，其实加上m的原因，是为了要让下一个搜寻值刚好是数列的最后一个位置。

费氏搜寻看来难懂，但只要掌握F_y + m = n这个公式，自己找几个实例算一次，很容易就可以理解；费氏搜寻除了收敛快速之外，由于其本身只会使用到加法与减法，在运算上也可以加快。


C代码

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <time.h> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <time.h> #define INT_MIN -9999void createFibonacci(int[], int);    int findY(int[], int);         int fibonacciSearch(int[], int, int);  int main(void) {    int number[] = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11};int length = sizeof(number) / sizeof(int);printf("数列："); int i;for(i = 0; i < length; i++) printf("%d ", number[i]); printf("\n输入寻找对象："); int find;scanf("%d", &find); if((i = fibonacciSearch(number, length, find)) >= 0) printf("找到数字于索引：%d ", i); else printf("\n找不到指定数"); printf("\n"); return 0; } //建立斐波那契数列void createFibonacci(int Fib[], int length) { Fib[0] = 0; Fib[1] = 1; int i;for(i = 2; i < length; i++) Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2]; } //找Y值 int findY(int Fib[], int n) { int i = 0; while(Fib[i] <= n) i++; i--; return i; } //斐波那契查找int fibonacciSearch(int number[], int length, int find) { int* Fib = (int*)(malloc(length * sizeof(int)));int f;for(f = 0; f < length; f++) {Fib[f] = INT_MIN;}createFibonacci(Fib, length); int y  = findY(Fib, length + 1); int m = length - Fib[y]; int x = y - 1; int i = x; if(number[i] < find) i += m; int result = -1;while(Fib[x] > 0) { if(number[i] < find) i += Fib[--x]; else if(number[i] > find) i -= Fib[--x]; else {result = i;break;}} free(Fib);return result; }  

转载自:http://caterpillar.onlyfun.net/Gossip/AlgorithmGossip/FibonacciSearch.htm