UVa Problem 107 - The Cat in the Hat

// UVa Problem 107 - The Cat in the Hat// Verdict: Accepted// Submission Date: 2011-11-23// UVa Run Time: 1.132s//// 版权所有（C）2011，邱秋。metaphysis # yeah dot net//// [解题方法]// 由于题目并未指明输入数据的范围，所以只有摸着石头过河。本题解是基于输入数据在 32 位整数以内的假// 设。//// 当工作的猫只有一只时，则每顶帽子内只有一只猫或者只有初始给定的那只猫。当只有初始给定的那只猫时，// 对应的输入应该是：1，1。// 当每顶帽子只有一只猫时，对应的输入应该是：x，1。其中 x 为 2 的幂。这两种特殊情况可以分开来解// 决。//// 对于一般的情况，设帽子的嵌套层数为 M，每只帽子内的猫数量为 N，初始猫高度为 A，工作的猫数量为// B，则有下列方程成立（B >= 2，N >= 2，M >= 1）：//// （N + 1）^M = A// N^M = B//// 那么很明显，A 和 B 均是大于 1 的合数。假如输入数据在 32 位整数范围内，那么 A 和 B 都可以分解// 为小于 2^16 的素数的乘积。对于 A 的分解，假设分解式为 A = a^k * b^l * c^m * ... * g^q.// 那么由于 A 是一个数的 M 次幂，则必有 A 的素因子的指数都是 M 的倍数。同样的，B 的素因子分解式// 中，各素因子的指数同样是 M 的倍数，那么 M 必为所有素因子指数的最大公约数（为什么？只需证明 N + 1// 和 N 的素因子分解式中所有指数的最大公约数为 1 即可，用反证法证明，假设 N + 1 和 N 的素因子// 分解式中，所有指数的最大公约数为一个大于 1 的数 w，那么不妨设：N + 1 = a^w，N = b^w，有// a^w - b^w = 1，a，b，w >= 2，且为整数，又由于 N + 1 > N，故有 a > b，不妨设 a = b + x// 其中 x >= 1，那么有 （b + x）^w - b^w = 1，由于 w >= 2，x >= 1，则根据二项式定理，上式// 不可能成立）。//// 那么可以将 A 和 B 进行素因子分解，用求所有指数最大公约数的方法求得 M，进而根据素因子分解的结果// 求得 N。//// 如果输入数据超出 32 位整数范围，只要素数分解的算法不是太慢，应该也能使用此种方法解决，不过随着// 给定数据范围的加大，素数增多，就不能使用预先生成指定范围内素数的办法，应该转而寻求其他不是太低效// 的办法。//// 另外一种解题的方法是根据方程使用二分法搜索 M 和 N 的值，这种方法我没有具体尝试过。#include <iostream>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;#define MAXINT (1 << 16)#define MAXN 6600int prime[MAXN], nPrime = 0, factor[MAXN];// 素数判定。bool isPrime(int x){if (x <= 1) return false;if (x == 2) return true;if (x & 1){int top = sqrt(x);for (int i = 3; i <= top; i += 2)if (x % i) continue;else return false;return true;}else return false;}// 生成指定范围内的所有素数。void getPrime(void){for (int i = 2; i <= MAXINT; i++)if (isPrime(i))prime[nPrime++] = i;}// 求最大公约数。int gcd(int x, int y){return x < y ? gcd(y, x) : (y ? gcd(y, x % y) : x);}// 素因子分解并求指数的最大公约数。int factoring(int x){int y = 0;memset(factor, 0, sizeof(factor));for (int i = 0; i < nPrime && x > 1; i++)while (x % prime[i] == 0){factor[i]++;x /= prime[i];}for (int i = 0; i < MAXN; i++)if (factor[i]){if (y) y = gcd(y, factor[i]);else y = factor[i];}return y;}// 特例处理。void specialCase(int initCatHeight, int workerCatsNumber){if (initCatHeight == 1)cout << "0 1" << endl;else{int nest = 1;for (int i = 2; i < initCatHeight; i *= 2, nest++);cout << nest << " " << (pow(2, nest + 1) - 1) << endl;}}int main (int argc, char const* argv[]){int nest, n;getPrime();int initCatHeight, workerCatsNumber;while (cin >> initCatHeight >> workerCatsNumber, initCatHeight || workerCatsNumber){// 特例处理。if (workerCatsNumber == 1){specialCase(initCatHeight, workerCatsNumber);continue;}// 利用素因子分解求嵌套层数。nest = factoring(initCatHeight);nest = gcd(nest, factoring(workerCatsNumber));// 利用素因子分解结果和嵌套层数求 N。n = 1;for (int i = 0; i < MAXN; i++)if (factor[i])n *= pow(prime[i], factor[i] / nest);// 求未工作的猫数量和所有猫的高度总和。int unworkCatsNumber = 0, totalHeight = 0;while (workerCatsNumber > 1){workerCatsNumber /= n;unworkCatsNumber += workerCatsNumber;}int exponent = 1;while (initCatHeight >= 1){totalHeight += initCatHeight * exponent;exponent *= n;initCatHeight /= (n + 1);}// 输出。cout << unworkCatsNumber << " " << totalHeight << endl;}return 0;}