归并排序

归并排序(Merge Sort)是利用"归并"技术来进行排序。归并是指将若干个已排序的子文件合并成一个有序的文件。

 

两路归并算法

 

1、算法基本思路

   　设两个有序的子文件(相当于输入堆)放在同一向量中相邻的位置上：R[low..m]，R[m+1..high]，先将它们合并到一个局部的暂存向量R1(相当于输出堆)中，待合并完成后将R1复制回R[low..high]中。

 

（1）合并过程

   　合并过程中，设置i，j和p三个指针，其初值分别指向这三个记录区的起始位置。合并时依次比较R[i]和R[j]的关键字，取关键字较小的记录复制到R1[p]中，然后将被复制记录的指针i或j加1，以及指向复制位置的指针p加1。

   　重复这一过程直至两个输入的子文件有一个已全部复制完毕(不妨称其为空)，此时将另一非空的子文件中剩余记录依次复制到R1中即可。

 

（2）动态申请R1

   　实现时，R1是动态申请的，因为申请的空间可能很大，故须加入申请空间是否成功的处理。

 

2、归并算法

  void Merge(SeqList R，int low，int m，int high)

    {//将两个有序的子文件R[low..m)和R[m+1..high]归并成一个有序的

     //子文件R[low..high]

     int i=low，j=m+1，p=0； //置初始值

     RecType *R1； //R1是局部向量，若p定义为此类型指针速度更快

     R1=(ReeType *)malloc((high-low+1)*sizeof(RecType))；

     if(! R1) //申请空间失败

       Error("Insufficient memory available!")；

     while(i<=m&&j<=high) //两子文件非空时取其小者输出到R1[p]上

       R1[p++]=(R[i].key<=R[j].key)?R[i++]：R[j++]；

     while(i<=m) //若第1个子文件非空，则复制剩余记录到R1中

       R1[p++]=R[i++]；

     while(j<=high) //若第2个子文件非空，则复制剩余记录到R1中

       R1[p++]=R[j++]；

     for(p=0，i=low；i<=high；p++，i++)

       R[i]=R1[p]；//归并完成后将结果复制回R[low..high]

    } //Merge

归并排序

 

    归并排序有两种实现方法：自底向上和自顶向下。

 

1、 自底向上的方法

（1） 自底向上的基本思想

    自底向上的基本思想是：第1趟归并排序时，将待排序的文件R[1..n]看作是n个长度为1的有序子文件，将这些子文件两两归并，若n为偶数，则得到



个长度为2的有序子文件；若n为奇数，则最后一个子文件轮空(不

 

参与归并)。故本趟归并完成后，前



个有序子文件长度为2，但最

 

后一个子文件长度仍为1；第2趟归并则是将第1趟归并所得到的



个有

 

序的子文件两两归并，如此反复，直到最后得到一个长度为n的有序文件为止。

    上述的每次归并操作，均是将两个有序的子文件合并成一个有序的子文件，故称其为"二路归并排序"。类似地有k(k>2)路归并排序。

 

（2） 二路归并排序的全过程

  【 参见动画演示】

 

（3） 一趟归并算法

 分析：

     在某趟归并中，设各子文件长度为length(最后一个子文件的长度可能小于length)，则归并前R[1..n]中共有



个有序的子文件：R

 

[1..length]，R[length+1..2length]，…，



。

注意：

    调用归并操作将相邻的一对子文件进行归并时，必须对子文件的个数可能是奇数、以及最后一个子文件的长度小于length这两种特殊情况进行特殊处理：

① 若子文件个数为奇数，则最后一个子文件无须和其它子文件归并(即本趟轮空)；

② 若子文件个数为偶数，则要注意最后一对子文件中后一子文件的区间上界是n。

 

 具体算法如下：

    void MergePass(SeqList R，int length)

     { //对R[1..n]做一趟归并排序

      int i；

      for(i=1;i+2*length-1<=n;i=i+2*length)

      Merge(R，i，i+length-1，i+2*length-1)；

           //归并长度为length的两个相邻子文件

      if(i+length-1<n) //尚有两个子文件，其中后一个长度小于length

         Merge(R，i，i+length-1，n)； //归并最后两个子文件

      //注意：若i≤n且i+length-1≥n时，则剩余一个子文件轮空，无须归并

     } //MergePass

 

（4）二路归并排序算法

  void MergeSort(SeqList R)

   {//采用自底向上的方法，对R[1..n]进行二路归并排序

     int length；

     for(1ength=1；length<n；length*=2) //做



趟归并

 

        MergePass(R，length)； //有序段长度≥n时终止

   }

 

注意：

    自底向上的归并排序算法虽然效率较高，但可读性较差。

2、自顶向下的方法

    采用分治法进行自顶向下的算法设计，形式更为简洁。

 

（1）分治法的三个步骤

    设归并排序的当前区间是R[low..high]，分治法的三个步骤是：

①分解：将当前区间一分为二，即求分裂点

                



②求解：递归地对两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]进行归并排序；

③组合：将已排序的两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]归并为一个有序的区间R[low..high]。

  递归的终结条件：子区间长度为1（一个记录自然有序）。

 

（2）具体算法

    void MergeSortDC(SeqList R，int low，int high)

     {//用分治法对R[low..high]进行二路归并排序

       int mid；

       if(low<high){//区间长度大于1

          mid=(low+high)/2； //分解

          MergeSortDC(R，low，mid); //递归地对R[low..mid]排序

          MergeSortDC(R，mid+1，high)； //递归地对R[mid+1..high]排序

          Merge(R，low，mid，high)； //组合，将两个有序区归并为一个有序区

        }

     }//MergeSortDC

 

（3）算法MergeSortDC的执行过程

    算法MergeSortDC的执行过程如下图所示的递归树。

    

 

二、算法分析

 

1、稳定性

    　归并排序是一种稳定的排序。

 

2、存储结构要求

   　可用顺序存储结构。也易于在链表上实现。

 

3、时间复杂度

   　对长度为n的文件，需进行



趟二路归并，每趟归并的时间为O(n)，故其时间复杂度无论是在最好情况下还是在最坏情况下均是O(nlgn)。

 

4、空间复杂度

   　需要一个辅助向量来暂存两有序子文件归并的结果，故其辅助空间复杂度为O(n)，显然它不是就地排序。