归并排序-归并排序

　归并排序(Merge Sort)是利用"归并"技术来进行排序。归并是指将若干个已排序的子文件合并成一个有序的文件。

两路归并算法

1、算法基本思路
　设两个有序的子文件(相当于输入堆)放在同一向量中相邻的位置上：R[low..m]，R[m+1..high]，先将它们合并到一个局部的暂存向量R1(相当于输出堆)中，待合并完成后将R1复制回R[low..high]中。

（1）合并过程
　合并过程中，设置i，j和p三个指针，其初值分别指向这三个记录区的起始位置。合并时依次比较R[i]和R[j]的关键字，取关键字较小的记录复制到R1[p]中，然后将被复制记录的指针i或j加1，以及指向复制位置的指针p加1。
　重复这一过程直至两个输入的子文件有一个已全部复制完毕(不妨称其为空)，此时将另一非空的子文件中剩余记录依次复制到R1中即可。

（2）动态申请R1
　实现时，R1是动态申请的，因为申请的空间可能很大，故须加入申请空间是否成功的处理。

2、归并算法

  void Merge(SeqList R，int low，int m，int high)    {//将两个有序的子文件R[low..m)和R[m+1..high]归并成一个有序的     //子文件R[low..high]     int i=low，j=m+1，p=0； //置初始值     RecType *R1； //R1是局部向量，若p定义为此类型指针速度更快     R1=(ReeType *)malloc((high-low+1)*sizeof(RecType))；     if(! R1) //申请空间失败       Error("Insufficient memory available!")；     while(i<=m&&j<=high) //两子文件非空时取其小者输出到R1[p]上       R1[p++]=(R[i].key<=R[j].key)?R[i++]：R[j++]；     while(i<=m) //若第1个子文件非空，则复制剩余记录到R1中       R1[p++]=R[i++]；     while(j<=high) //若第2个子文件非空，则复制剩余记录到R1中       R1[p++]=R[j++]；     for(p=0，i=low；i<=high；p++，i++)       R[i]=R1[p]；//归并完成后将结果复制回R[low..high]    } //Merge

归并排序

归并排序有两种实现方法：自底向上和自顶向下。

1、 自底向上的方法
（1） 自底向上的基本思想
自底向上的基本思想是：第1趟归并排序时，将待排序的文件R[1..n]看作是n个长度为1的有序子文件，将这些子文件两两归并，若n为偶数，则得到 个长度为2的有序子文件；若n为奇数，则最后一个子文件轮空(不参与归并)。故本趟归并完成后，前个有序子文件长度为2，但最后一个子文件长度仍为1；第2趟归并则是将第1趟归并所得到的个有序的子文件两两归并，如此反复，直到最后得到一个长度为n的有序文件为止。

上述的每次归并操作，均是将两个有序的子文件合并成一个有序的子文件，故称其为"二路归并排序"。类似地有k(k>2)路归并排序。

（2） 二路归并排序的全过程
【参见动画演示】

（3） 一趟归并算法
分析：
在某趟归并中，设各子文件长度为length(最后一个子文件的长度可能小于length)，则归并前R[1..n]中共有 个有序的子文件：R

[1..length]，R[length+1..2length]，…， 。
注意：
调用归并操作将相邻的一对子文件进行归并时，必须对子文件的个数可能是奇数、以及最后一个子文件的长度小于length这两种特殊情况进行特殊处理：
　　① 若子文件个数为奇数，则最后一个子文件无须和其它子文件归并(即本趟轮空)；
　　② 若子文件个数为偶数，则要注意最后一对子文件中后一子文件的区间上界是n。

具体算法如下：

    void MergePass(SeqList R，int length)     { //对R[1..n]做一趟归并排序      int i；      for(i=1;i+2*length-1<=n;i=i+2*length)      Merge(R，i，i+length-1，i+2*length-1)；           //归并长度为length的两个相邻子文件      if(i+length-1<n) //尚有两个子文件，其中后一个长度小于length         Merge(R，i，i+length-1，n)； //归并最后两个子文件      //注意：若i≤n且i+length-1≥n时，则剩余一个子文件轮空，无须归并     } //MergePass

（4）二路归并排序算法

  void MergeSort(SeqList R)   {//采用自底向上的方法，对R[1..n]进行二路归并排序     int length；     for(1ength=1；length<n；length*=2) //做 lgn 趟归并        MergePass(R，length)； //有序段长度≥n时终止   }

注意：
自底向上的归并排序算法虽然效率较高，但可读性较差。

2、自顶向下的方法
采用分治法进行自顶向下的算法设计，形式更为简洁。

（1）分治法的三个步骤
设归并排序的当前区间是R[low..high]，分治法的三个步骤是：
①分解：将当前区间一分为二，即求分裂点

②求解：递归地对两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]进行归并排序；
③组合：将已排序的两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]归并为一个有序的区间R[low..high]。
递归的终结条件：子区间长度为1（一个记录自然有序）。

（2）具体算法

    void MergeSortDC(SeqList R，int low，int high)     {//用分治法对R[low..high]进行二路归并排序       int mid；       if(low<high){//区间长度大于1          mid=(low+high)/2； //分解          MergeSortDC(R，low，mid); //递归地对R[low..mid]排序          MergeSortDC(R，mid+1，high)； //递归地对R[mid+1..high]排序          Merge(R，low，mid，high)； //组合，将两个有序区归并为一个有序区        }     }//MergeSortDC

（3）算法MergeSortDC的执行过程
算法MergeSortDC的执行过程如下图所示的递归树。

二、算法分析

1、稳定性
　归并排序是一种稳定的排序。

2、存储结构要求
　可用顺序存储结构。也易于在链表上实现。

3、时间复杂度
　对长度为n的文件，需进行 趟二路归并，每趟归并的时间为O(n)，故其时间复杂度无论是在最好情况下还是在最坏情况下均是O(nlgn)。

4、空间复杂度
　 需要一个辅助向量来暂存两有序子文件归并的结果，故其辅助空间复杂度为O(n)，显然它不是就地排序。
注意：
　若用单链表做存储结构，很容易给出就地的归并排序。具体【参见练习】。

转载自：http://student.zjzk.cn/course_ware/data_structure/web/paixu/paixu8.5.1.3.htm