实时渲染(第三版):第四章 转换 4.3.2

 

4.3.2 四元组转换

    我们现在开始学习四元组的一个子类别，称为单位四元组，它们都是单位长度。单位四元组的最重要的事实是它们可以表示任何三维旋转，并且这种表示极其简洁简单。

    现在，我们来看看单位四元组为啥对旋转和方向如此有用。首先，将拥有四个坐标的点或向量（p = (Px Py Pz Pw)^T ）放到四元组p^中，假设有一个单位四元组q^ = (sinΦuq, cosΦ)。那么：

将绕着轴uq旋转p^（也是点p）2Φ弧度。注意，既然q^是一个单位四元组，那么q^^-1 = q^^*。它可以用于绕着任意轴的旋转，如图4.8所示。

图 4.8 单位四元组表示的旋转转换演示。单位四元组q^ = (sinΦuq, cosΦ)。该转换绕着uq旋转2Φ弧度.

    任何非0实数和q^的乘积也表示同样的转换，这意味着，q^和-q^表示同样的旋转。也就是说，将轴uq反向，将实部qw取负，产生的四元组在转换上和原四元组效果相同。它还表示，从矩阵提取四元组，可以返回q^或-q^。

    给定两个单位四元组q^和r^，假设它们的串联为首先应用q^，然后是r^，最后是应用的对象p^（可当作点p），则可用公式4.41表示：

此处，c^ = r^q^，它也是单位四元组，表示的是单位四元组q^和r^的串联。

矩阵转换

    某些系统上矩阵乘法实现于硬件，并且矩阵乘法比公式4.40更高效，因此，我们需要将四元组和矩阵进行互转的方法。四元组q^，转换到矩阵Mq的公式如4.42：

此处，标量是s = 2/n(q^)。对于单位四元组，它可以简化为：

四元组构建好之后，就无需再进行三角函数的计算。

    将正交矩阵Mq转换到单位四元组q^，稍微复杂点。它的关键如公式4.44，和公式4.43有所不同：

这些等式的含义是，如果qw已知，可以求出向量vq的值，进而可以导出q^。Mq的迹如下计算：

该结果将为单位四元组产生下面的转换：

为拥有数值稳定的事务，应当避免被小数相除。因此，首先设置，接着，

可以判断出m00，m11，m22中的最大值，而u决定qx, qy, qz, 和 qw中的最大值。如果qw是最大的，则可用公式4.46导出四元组。否则，首先使用下面的公式计算qx, qy, qz中的最大值：

之后，使用公式4.44计算q^的其他部分。幸运的是，有这个计算的代码（参考进一步阅读和资源）。

球形线性插值

    给定两个单位四元组（q^和r^）和一个参数t∈[0,1]，球形线性插值可以计算一个插值四元组。这对对象动画有用；但对相机方向，就没有在插值期间倾斜相机朝上向量（通常是一种干扰效果）那般有用。

    该操作的代数形式可被表示为下面的复合四元组s^：

s^(q^,r^,t) = (r^q^^-1)^tq^                           (4.49)

不过，对于软件实现，下面的形式会更加适合（其中，slerp表示球形线性插值）:

为计算Φ，可以使用下面的等式：cosΦ = qxrx + qyry + qzrz + qwrw。t∈[0,1]，slerp函数计算（唯一（当且仅当q^和r^非反））插值四元组，这些四元组构成了四维单位球体上、从q^(t=0)到r^(t=1)的最短弧。该圆弧所在的圆形成于q^，r^和原点指定的平面和四维单位球体间的交叉点，如图4.9所示。算出的旋转四元组绕着固定轴已恒定速度旋转。这种拥有恒定速度、不会有加速度的曲线，被叫做测地线。

图 4.9 单位四元组表示为单位球体上的点。slerp函数用来在四元组之间进行插值，插值路径是球体上的弧。注意，从q1^到q2^的插值和从q1^到q3再^到q2^的插值不是一回事（虽然它们达到相同的方向）。

    slerp函数相当适合于两个方向间的插值，其表现很好（固定轴，恒定速度）。但使用欧拉角进行插值时就不是这样。在实践中，直接计算slerp是个昂贵的操作，它需要调用三角函数。Li提供了更快的增量方法，并且不会牺牲任何精度。

    当存在两个以上的方向，假设为q0^，q1^，...q_n-1^，并且，我们想要从q0^到q1^到q2^...直到q_n-1^，进行插值，那么就可以简单的方式使用slerp。现在，假设我们进行到了qi^，那么可以使用q_i^和q_i-1^作为参数计算slerp。之后，使用q_i^和q_i+1^。这将导致突然抖动出现于方向插值中。这点和点的线性插值类似；参考图13.2右上角。

    更好的插值方法是使用某种类型的样条线。在q_i^和q_i+1^之间引入a_i^和a_i+1^，则可使用它们定义球形立方体插值。让人惊奇的是，这些额外的四元组被如下计算：

q_i^和a_i^将被用于球形插值四元组，使用一个平滑的立方体样条线，入公式4.52：

从上面的公式可以看出，squad函数构建于重复的球形插值（使用slerp）。插值传递初始的方向，q_i^，i∈[0，...，n-1]，但不会传递a_i^（它们被用来表示初始方向的切方向）。

从一个向量旋转到另一个

    一个常用的操作是从方向s转换到另一个方向t，尽可能用最短的路径。四元组大大简化了这一过程，从这也可以看出四元组和它的密切关系。首先，标准化s和t。然后，计算单位旋转轴，假设叫u：u = (s×t)/||s×t||。接着，e = s.t = cos(2Φ),||s×t|| = sin(2Φ)，其中2Φ是s和t之前的夹角。则，表示从s旋转到t的四元组为q^ = (sinΦu, cosΦ) =，用半角关系和三角恒等式简化后为：

以这种方式（相比于标准化点积s×t）直接生成四元组可避免s,t相隔很近时的数值不稳定。但当s和t在相反的方向时，两种方法都存在不稳定问题，因为会发生被0除。这种特殊情况下，垂直于s的旋转轴可用于旋转t。

    有时，我们需要从s旋转到t的矩阵表示。公式4.43在一些代数和三角简化后，旋转矩阵变成为：

在这个公式中，我们使用了下面的中间计算：

如你所见，所有的方根和三角函数都被简化消去，这是创建矩阵的高效方法。

    注意，当s和t是平行或接近平行时，你要特别小心，因为此时||s×t||≈0。如果Φ≈0，那么我们可以返回单位矩阵。如果2Φ≈π，那么我们可以绕着任一轴旋转π弧度，该任一轴可通过s和另一不平行与s的向量的叉积获得。Moller 和 Hughes 使用豪斯霍尔德矩阵（Householder matrices）处理这个特例。

示例：定位和定向相机

假设虚拟相机（或视点）的默认位置是(0 0 0)^T，默认的视图方向v沿着-z轴，如v = (0 0 0)^T。现在，目标是创建一个转换，将相机移动到一个新的位置p，看向方向w。从定向相机开始，旋转默认视图方向到目标视图方向，由R(v, w)负责。定位只要简单地平移到p。于是，产生的结果转换为X = T(p)R(v, w)。在实际使用中，第一个旋转之后，往往需要另一个向量到向量的旋转转换，以旋转视图上方向到某个需求的朝向。