前缀、中缀、后缀表达式

 
它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。

举例：
(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式
- × + 3 4 5 6 前缀表达式
3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式

中缀表达式（中缀记法）
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

前缀表达式（前缀记法、波兰式）
前缀表达式的运算符位于操作数之前。

前缀表达式的计算机求值：
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：
(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；
(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。

将中缀表达式转换为前缀表达式：
遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从右至左扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：

扫描到的元素S2(栈底->栈顶)S1 (栈底->栈顶)说明55空数字，直接入栈-5-S1为空，运算符直接入栈)5- )右括号直接入栈45 4- )数字直接入栈×5 4- ) ×S1栈顶是右括号，直接入栈)5 4- ) × )右括号直接入栈35 4 3- ) × )数字+5 4 3- ) × ) +S1栈顶是右括号，直接入栈25 4 3 2- ) × ) +数字(5 4 3 2 +- ) ×左括号，弹出运算符直至遇到右括号(5 4 3 2 + ×-同上+5 4 3 2 + ×- +优先级与-相同，入栈15 4 3 2 + × 1- +数字到达最左端5 4 3 2 + × 1 + -空S1中剩余的运算符因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。

后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）
后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。

后缀表达式的计算机求值：
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
(1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 将5入栈；
(4) 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
(5) 将6入栈；
(6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。

将中缀表达式转换为后缀表达式：
与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从左至右扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：扫描到的元素S2(栈底->栈顶)S1 (栈底->栈顶)说明11空数字，直接入栈+1+S1为空，运算符直接入栈(1+ (左括号，直接入栈(1+ ( (同上21 2+ ( (数字+1 2+ ( ( +S1栈顶为左括号，运算符直接入栈31 2 3+ ( ( +数字)1 2 3 ++ (右括号，弹出运算符直至遇到左括号×1 2 3 ++ ( ×S1栈顶为左括号，运算符直接入栈41 2 3 + 4+ ( ×数字)1 2 3 + 4 ×+右括号，弹出运算符直至遇到左括号-1 2 3 + 4 × +--与+优先级相同，因此弹出+，再压入-51 2 3 + 4 × + 5-数字到达最右端1 2 3 + 4 × + 5 -空S1中剩余的运算符
因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序输出）。

编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNotation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）：

注：
(1) 程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。有耐心的话可以研究一下。(2) 此程序是笔者为了说明上述概念而编写，仅做了简单的测试，不保证其中没有Bug，因此不要将其用于除研究之外的其他场合。

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1. package qmk.simple_test;  
2. import java.util.Scanner;  
3. import java.util.Stack;  
4. /** 
5.  * Example of converting an infix-expression to 
6.  * Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN). 
7.  * Written in 2011-8-25 
8.  * @author QiaoMingkui 
9.  */  
10. public class Calculator {  
11.       public static final String USAGE = "== usage ==\n"  
12.             + "input the expressions, and then the program "  
13.             + "will calculate them and show the result.\n"  
14.             + "input 'bye' to exit.\n";  
15.       /** 
16.        * @param args 
17.        */  
18.       public static void main(String[] args) {  
19.             System.out.println(USAGE);  
20.             Scanner scanner = new Scanner(System.in);  
21.             String input = "";  
22.             final String CLOSE_MARK = "bye";  
23.             System.out.println("input an expression:");  
24.             input = scanner.nextLine();  
25.             while (input.length() != 0  
26.                   && !CLOSE_MARK.equals((input))) {  
27.                   System.out.print("Polish Notation (PN):");  
28.                   try {  
29.                         toPolishNotation(input);  
30.                   } catch (NumberFormatException e) {  
31.                         System.out.println("\ninput error, not a number.");  
32.                   } catch (IllegalArgumentException e) {  
33.                         System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());  
34.                   } catch (Exception e) {  
35.                         System.out.println("\ninput error, invalid expression.");  
36.                   }  
37.                   System.out.print("Reverse Polish Notation (RPN):");  
38.                   try {  
39.                         toReversePolishNotation(input);  
40.                   } catch (NumberFormatException e) {  
41.                         System.out.println("\ninput error, not a number.");  
42.                   } catch (IllegalArgumentException e) {  
43.                         System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());  
44.                   } catch (Exception e) {  
45.                         System.out.println("\ninput error, invalid expression.");  
46.                   }  
47.                   System.out.println("input a new expression:");  
48.                   input = scanner.nextLine();  
49.             }  
50.             System.out.println("program exits");  
51.       }  
52.       /** 
53.        * parse the expression , and calculate it. 
54.        * @param input 
55.        * @throws IllegalArgumentException 
56.        * @throws NumberFormatException 
57.        */  
58.       private static void toPolishNotation(String input)  
59.                   throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {  
60.             int len = input.length();  
61.             char c, tempChar;  
62.             Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();  
63.             Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();  
64.             Stack<Object> expression = new Stack<Object>();  
65.             double number;  
66.             int lastIndex = -1;  
67.             for (int i=len-1; i>=0; --i) {  
68.                   c = input.charAt(i);  
69.                   if (Character.isDigit(c)) {  
70.                         lastIndex = readDoubleReverse(input, i);  
71.                         number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i+1));  
72.                         s2.push(number);  
73.                         i = lastIndex;  
74.                         if ((int) number == number)  
75.                               expression.push((int) number);  
76.                         else  
77.                               expression.push(number);  
78.                   } else if (isOperator(c)) {  
79.                         while (!s1.isEmpty()  
80.                                     && s1.peek() != ')'  
81.                                     && priorityCompare(c, s1.peek()) < 0) {  
82.                               expression.push(s1.peek());  
83.                               s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), s1.pop()));  
84.                         }  
85.                         s1.push(c);  
86.                   } else if (c == ')') {  
87.                         s1.push(c);  
88.                   } else if (c == '(') {  
89.                         while ((tempChar=s1.pop()) != ')') {  
90.                               expression.push(tempChar);  
91.                               s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));  
92.                               if (s1.isEmpty()) {  
93.                                     throw new IllegalArgumentException(  
94.                                           "bracket dosen't match, missing right bracket ')'.");  
95.                               }  
96.                         }  
97.                   } else if (c == ' ') {  
98.                         // ignore  
99.                   } else {  
100.                         throw new IllegalArgumentException(  
101.                                     "wrong character '" + c + "'");  
102.                   }  
103.             }  
104.             while (!s1.isEmpty()) {  
105.                   tempChar = s1.pop();  
106.                   expression.push(tempChar);  
107.                   s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));  
108.             }  
109.             while (!expression.isEmpty()) {  
110.                   System.out.print(expression.pop() + " ");  
111.             }  
112.             double result = s2.pop();  
113.             if (!s2.isEmpty())  
114.                   throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");  
115.             System.out.println();  
116.             if ((int) result == result)  
117.                   System.out.println("the result is " + (int) result);  
118.             else  
119.                   System.out.println("the result is " + result);  
120.       }  
121.       /** 
122.        * parse the expression, and calculate it. 
123.        * @param input 
124.        * @throws IllegalArgumentException 
125.        * @throws NumberFormatException 
126.        */  
127.       private static void toReversePolishNotation(String input)  
128.                   throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {  
129.             int len = input.length();  
130.             char c, tempChar;  
131.             Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();  
132.             Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();  
133.             double number;  
134.             int lastIndex = -1;  
135.             for (int i=0; i<len; ++i) {  
136.                   c = input.charAt(i);  
137.                   if (Character.isDigit(c) || c == '.') {  
138.                         lastIndex = readDouble(input, i);  
139.                         number = Double.parseDouble(input.substring(i, lastIndex));  
140.                         s2.push(number);  
141.                         i = lastIndex - 1;  
142.                         if ((int) number == number)  
143.                               System.out.print((int) number + " ");  
144.                         else  
145.                               System.out.print(number + " ");  
146.                   } else if (isOperator(c)) {  
147.                         while (!s1.isEmpty()  
148.                                     && s1.peek() != '('  
149.                                     && priorityCompare(c, s1.peek()) <= 0) {  
150.                               System.out.print(s1.peek() + " ");  
151.                               double num1 = s2.pop();  
152.                               double num2 = s2.pop();  
153.                               s2.push(calc(num2, num1, s1.pop()));  
154.                         }  
155.                         s1.push(c);  
156.                   } else if (c == '(') {  
157.                         s1.push(c);  
158.                   } else if (c == ')') {  
159.                         while ((tempChar=s1.pop()) != '(') {  
160.                               System.out.print(tempChar + " ");  
161.                               double num1 = s2.pop();  
162.                               double num2 = s2.pop();  
163.                               s2.push(calc(num2, num1, tempChar));  
164.                               if (s1.isEmpty()) {  
165.                                     throw new IllegalArgumentException(  
166.                                           "bracket dosen't match, missing left bracket '('.");  
167.                               }  
168.                         }  
169.                   } else if (c == ' ') {  
170.                         // ignore  
171.                   } else {  
172.                         throw new IllegalArgumentException(  
173.                                     "wrong character '" + c + "'");  
174.                   }  
175.             }  
176.             while (!s1.isEmpty()) {  
177.                   tempChar = s1.pop();  
178.                   System.out.print(tempChar + " ");  
179.                   double num1 = s2.pop();  
180.                   double num2 = s2.pop();  
181.                   s2.push(calc(num2, num1, tempChar));  
182.             }  
183.             double result = s2.pop();  
184.             if (!s2.isEmpty())  
185.                   throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");  
186.             System.out.println();  
187.             if ((int) result == result)  
188.                   System.out.println("the result is " + (int) result);  
189.             else  
190.                   System.out.println("the result is " + result);  
191.       }  
192.       /** 
193.        * calculate the two number with the operation. 
194.        * @param num1 
195.        * @param num2 
196.        * @param op 
197.        * @return 
198.        * @throws IllegalArgumentException 
199.        */  
200.       private static double calc(double num1, double num2, char op)  
201.                   throws IllegalArgumentException {  
202.             switch (op) {  
203.             case '+':  
204.                   return num1 + num2;  
205.             case '-':  
206.                   return num1 - num2;  
207.             case '*':  
208.                   return num1 * num2;  
209.             case '/':  
210.                   if (num2 == 0) throw new IllegalArgumentException("divisor can't be 0.");  
211.                   return num1 / num2;  
212.             default:  
213.                   return 0; // will never catch up here  
214.             }  
215.       }  
216.       /** 
217.        * compare the two operations' priority. 
218.        * @param c 
219.        * @param peek 
220.        * @return 
221.        */  
222.       private static int priorityCompare(char op1, char op2) {  
223.             switch (op1) {  
224.             case '+': case '-':  
225.                   return (op2 == '*' || op2 == '/' ? -1 : 0);  
226.             case '*': case '/':  
227.                   return (op2 == '+' || op2 == '-' ? 1 : 0);  
228.             }  
229.             return 1;  
230.       }  
231.       /** 
232.        * read the next number (reverse) 
233.        * @param input 
234.        * @param start 
235.        * @return 
236.        * @throws IllegalArgumentException 
237.        */  
238.       private static int readDoubleReverse(String input, int start)  
239.                   throws IllegalArgumentException {  
240.             int dotIndex = -1;  
241.             char c;  
242.             for (int i=start; i>=0; --i) {  
243.                   c = input.charAt(i);  
244.                   if (c == '.') {  
245.                         if (dotIndex != -1)  
246.                               throw new IllegalArgumentException(  
247.                                     "there have more than 1 dots in the number.");  
248.                         else  
249.                               dotIndex = i;  
250.                   } else if (!Character.isDigit(c)) {  
251.                         return i + 1;  
252.                   } else if (i == 0) {  
253.                         return 0;  
254.                   }  
255.             }  
256.             throw new IllegalArgumentException("not a number.");  
257.       }  
258.         
259.       /** 
260.        * read the next number 
261.        * @param input 
262.        * @param start 
263.        * @return 
264.        * @throws IllegalArgumentException 
265.        */  
266.       private static int readDouble(String input, int start)  
267.       throws IllegalArgumentException {  
268.             int len = input.length();  
269.             int dotIndex = -1;  
270.             char c;  
271.             for (int i=start; i<len; ++i) {  
272.                   c = input.charAt(i);  
273.                   if (c == '.') {  
274.                         if (dotIndex != -1)  
275.                               throw new IllegalArgumentException(  
276.                               "there have more than 1 dots in the number.");  
277.                         else if (i == len - 1)  
278.                               throw new IllegalArgumentException(  
279.                               "not a number, dot can't be the last part of a number.");  
280.                         else  
281.                               dotIndex = i;  
282.                   } else if (!Character.isDigit(c)) {  
283.                         if (dotIndex == -1 || i - dotIndex > 1)  
284.                               return i;  
285.                         else  
286.                               throw new IllegalArgumentException(  
287.                               "not a number, dot can't be the last part of a number.");  
288.                   } else if (i == len - 1) {  
289.                         return len;  
290.                   }  
291.             }  
292.               
293.             throw new IllegalArgumentException("not a number.");  
294.       }  
295.       /** 
296.        * return true if the character is an operator. 
297.        * @param c 
298.        * @return 
299.        */  
300.       private static boolean isOperator(char c) {  
301.             return (c=='+' || c=='-' || c=='*' || c=='/');  
302.       }  
303. }  

下面是程序运行结果（绿色为用户输入）：

== usage ==

input the expressions, and then the program will calculate them and show the result.

input 'bye' to exit.

input an expression:

3.8+5.3

Polish Notation (PN):+ 3.8 5.3

the result is 9.1

Reverse Polish Notation (RPN):3.8 5.3 +

the result is 9.1

input a new expression:

5*(9.1+3.2)/(1-5+4.88)

Polish Notation (PN):/ * 5 + 9.1 3.2 + - 1 5 4.88

the result is 69.88636363636364

Reverse Polish Notation (RPN):5 9.1 3.2 + * 1 5 - 4.88 + /

the result is 69.88636363636364

input a new expression:

1+((2+3)*4)-5

Polish Notation (PN):- + 1 * + 2 3 4 5

the result is 16

Reverse Polish Notation (RPN):1 2 3 + 4 * + 5 -

the result is 16

input a new expression:

bye

program exits